Extremums locaux et intervalle

[Chmiman]

Bonsoir , je vous envoie un tableau de variation pour illustrer ce que je ne comprend pas : mon professeur de math m'a dit que l'on ne pouvait pas prendre l'intervalle ]-infini ; -2[ pour dire que f possède un minimum local mais prendre ]-infini ; 2 [ . L'intervalle moins l'infini - moins deux est bien inclus dans I pourtant ! Est ce proscrit ou c'est juste car on doit toujours prendre une valeur au dessus pour montrer la décroissance et la croissance ? Car c'est vrai que sur le premier intervalle cité j'ai bien un minimum local mais j'avais pris une partie uniquement décroissante , mais quoi qu'il en soit cela reste un minimum ! Est ce la raison ?
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[gg0]

Bonjour.

Ne connaissant pas l'énoncé ni les motivations de ton prof, on en est réduit à imaginer. Sur ]-oo,-2[, il n'y a pas de minimum. Sur ]-oo,-2] il y a un minimum, en 2, qui n'est pas global; idem sur ]-oo,2[

Cordialement.

[Chmiman]

Vous dites qu'il n'y a pas de minimum car l'intervalle est ouvert , car sinon si je prends un autre exemple , une fonction décroissante sur [ 9 ; 13 ] et le minimum est -4 par exemple , je peux accepter -4 comme minimum local si mon intervalle I est [ 9 ; 20 ] par exemple !

[gg0]

Effectivement,

en aucun point de ]-oo,-2[ la fonction n'a un minimum, si j'en crois ton tableau de variations. Et sur ]-oo,-2] il y a un minimum non pas de la fonction, mais de sa restriction à ]-oo,-2], puisque f(-2) est inférieur ou égal à f(x) pour tout x de ]-oo,-2].

[A voir en vidéo sur Futura]

[Chmiman]

Oui, d'ailleurs si l'intervalle ]-oo ; -2 ] inclus dans I était comme je l'ai écris , c'est à dire avec la valeur -2 incluse , j'aurais pu dire que -2 était un minimum local de f .