Factorisation : Polynôme du Troisième degré

[Noxallou]

Bonjour,

Je bloque sur l'énoncé suivant:
Montrer que ∀ x∈R et x≥5, alors (2x+1)^3 ≤ 2*(2x-1)^3
Vu que je n'avais pas d'idées, j'ai tout développé et réduit pour obtenir l'inéquation : -8x^3+36x^2-6x+3 ≤ 0
J'en ai donc déduis que si l'on parvenait à factoriser ce polynôme en un produit de deux polynômes de degré 1 et 2, il serait alors simple de calculer son signe et ainsi conclure. Cependant je bloque sur la factorisation de ce polynôme. Et de manière générale, j'aimerais savoir comment factoriser un polynôme de degré 3..
Merci d'avance!
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[pm42]

Tu as essayé de faire une étude de fonction simple en dérivant ton polynome ? En étudiant le signe de la dérivée, tu dois pouvoir montrer qu'il est négatif sur la partie qui t'intéresse ?
Je n'ai pas vérifié mais cela semble être une piste intéressante.

Sinon à titre culturel : https://fr.wikipedia.org/wiki/Méthode_de_Cardan

[PlaneteF]

Bonjour,

Il y a bien plus simple, la fonction cube étant strictement croissante sur , la démonstration est quasi-immédiate.

Cordialement

[Noxallou]

Pour ce qui est de calculer la dérivée, je ne vois pas comment cela indiquera le signe (je suis en 1ere, dsl si mes questions sont naïves

[A voir en vidéo sur Futura]

[Noxallou]

Pour ce qui est de la résolution proposée par PlaneteF, je ne vois ni la rédaction ni la déduction à partir de vos remarques..

[PlaneteF]

Noxallou, tu as vu mon précédent message ? ... Il n'est pas nécessaire de développer comme tu l'as fait, c'est bien plus simple que cela. Pars de la définition même d'une fonction strictement croissante.

Cdt

[pm42]

Si ta dérivée est négative à partir de 5, alors la fonction est décroissante. Si la fonction est négative ou nulle en 5, alors elle est donc négative au dessus de 5.

[Noxallou]

PlaneteF, oui j'ai bien vu mais je ne vois pas comment passe tu de (2x+1)^3 ≥ (2x-1)^3 à 2x+1)^3 ≤ 2*(2x-1)^3 quand x sup à 5
pm 42, ouii merci beaucoup je viens de comprendre la démarche!

[jacknicklaus]

Comme l'a dit planeteF , la fonction cube est strictement croissante sur R.
Donc la condition devient simplement
2x+1 <= racinecubique(2).(2x-1)
inéquation qui se résout de manière immédiate.

[pm42]

En effet, c'est largement plus simple.

[Noxallou]

Merci beaucoup a tous! J'ai enfin compris (^^')!!
Une dernière chose, pour revenir à l'intitulé de cette discussion, est-ce que quelqu'un connait des méthodes permettant de factoriser des fonctions polynômes de degré 3?
Il m'arrive souvent de rencontrer ce problème dans nombres d'exercices et je n'ai trouvé nul part d'explication, ou seuleument sur des cas bien trop précis. J'aimerais savoir s'il existe une méthode qui marche qu'importe le polynôme.
Merci d'avance

[pm42]

Je t'ai donné le lien dans la 1ère réponse.

[Noxallou]

Toutes mes excuses, a force de réfléchir à ce problème, j'avais zappé ^^'

[ansset]

La méthode de Cardan est lourde et pas vraiment du niveau lycée.
Il n'existe pas de solution ( Lycée ) simple.
Sauf à faire apparaître une racine évidente.( du type -2;-1;0;1;2)
auquel cas , si P est le polynôme de degré 3 et a la racine trouvée alors
P(x)=(x-a)Q(x) avec Q(x) polynôme de degré 2.

[jacknicklaus]

La méthode de Cardan est lourde et pas vraiment du niveau lycée.

Ah bon ? Elle ne l'est plus alors ?
Sauf grossière erreur de ma part, j'avais dû voir çà en lycée. Avec Ferrari pour le degré 4.
"cardan de Ferrari", ca nous faisait marrer...

[ansset]

perso, pas vu au lycée: ni Cardan, ni Ferrari.

[gg0]

Les méthodes de résolution d'équations de degré 3 n'ont jamais fait partie des programmes de lycée. D'ailleurs, s'il y a 3 racines réelles, les formules de Cardan ne donnent pas d'expression réelle des racines sauf dans des cas particuliers. Bizarrement, très souvent, c'est ces cas qui sont mis en avant, ou le cas une seule racine.

Cordialement.

[ansset]

Les méthodes de résolution d'équations de degré 3 n'ont jamais fait partie des programmes de lycée.

Ouf. Tu me rassures. !
Cdt