Inégalités

[P171]

Bonjour,

Je m'entraîne pour un concours.
C'est un QCM et en moyenne j'ai 5 min chrono pour chaque question (aucune démonstration n'est demandée). Cependant en voici une pour laquelle je sèche :

Pour tous nombres réels positifs a et b on a :

a) et

b) et si alors

c) si alors et si alors

d) si alors et si alors

Mon problème c'est que je n'arrive pas à trouver un moyen rapide pour trouver la solution.

Ma démarche jusqu'à présent :
Je lis vite fait les réponses, rien ne me saute aux yeux.

J'élimine donc rapidement la a) car je sais que est faux lorsque . C'est aussi déductible rapidement graphiquement en traçant et

Pour la c) si l'inégalité est fausse. Déduction bête et méchante en prenant a et b au hasard dans l'intervalle spécifié.

Cependant pour la b) et d) en prenant des valeurs au hasard ça a l'air de marcher. Du coup...
Quelle méthode rapide et efficace serait à privilégier pour les discerner en moins de 5 min ?

Merci
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[jacknicklaus]

Tu dis si l'inégalité est fausse.

Dans ce cas non seulement c) est fausse mais aussi d) puisqu'ils partagent la même condition "et ...." qui est fausse.


par ailleurs, dans [1, +infini], x - racine(x) est strictement croissante, donc ...

[ansset]

la b) est évidente car
( a et b > 1 )
pour les c et d , on sent bien qu'il faudrait une condition supplémentaire sur la diff entre b et a.
si par exemple je prend soit l'inégalité devient
ce qui imposerait

[joel_5632]

Pour la b), on peut aussi utiliser le TAF

[A voir en vidéo sur Futura]