probabilité surreservation

[kaderben]

Bonjour

Un restaurateur à une capacité de 100 places réservées tous les jours.
X variable aléatoire qui compte le nombre de clients, suit une loi normale (90 ; 9)
La probabilité qu'un client ayant réservé et ne se présente pas est 0,1.
Un jour le restaurateur réserve 110 places pour ses clients.
Quelle est la probabilité qu'il se retrouve dans une situation embarrassante ?

J'avoue que je ne sais pas trop si c'est:
P(X>100 ou P(x<110) ou P(100<X<110) ou c'est une probabilité conditionnelle….

Je n’arrive pas à saisir le raisonnement.
Merci pour des réponses
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[gg0]

Bonjour.

Si tu as copié correctement, il manque effectivement un certain nombre de précisions. Car cet énoncé est incohérent : S'il y a 100 places réservées, comment en réserver 110. Il faut sans doute comprendre que le restaurateur a eu 110 demandes de places. maintenant, ce qu'on ne sait pas, c'est s'il va prendre ou pas des clients qui n'ont pas réservé ?
Simplifions : Il ne prend que sur réservation. On remarque qu'on connaît la valeur de X, donc la précision sur la loi de X ne sert pas ici (*). Donc le problème à traiter est :
Sachant qu'il y a 110 réservations, que la probabilité qu'un clients ayant réservé ne se présente pas est 0,1, quelle est la probabilité qu'il reçoive au moins 101 clients.
Tu peux utiliser la variable aléatoire Y=nombre de clients qui se présentent sur 110.

Bon travail !

(*) s'il y a d'autres questions, elle peut y servir.

[kaderben]

Bonjour ggO
Oui, j'ai copié l'énoncé correctement sur quelqu'un, maintenant ce quelqu'un a t il copié correctement je n'en sais rien!

(*) s'il y a d'autres questions, elle peut y servir.

La première question est: calculer P(X>95) ?
X (90;9) et écart type=3. A la calculette: P(X>95)=0,0478

Maintenant ta question:
Sachant qu'il y a 110 réservations, que la probabilité qu'un clients ayant réservé ne se présente pas est 0,1, quelle est la probabilité qu'il reçoive au moins 101 clients.
Tu peux utiliser la variable aléatoire Y=nombre de clients qui se présentent sur 110.

La V.A Y, je ne vois pas comment l'utiliser ?
P(X>= 101)=0,000123
Tu as dit que la loi de X ne sert pas...
Cela me parait une loi binomiale mais pas sûr!

[gg0]

Je pense que l'auteur du sujet a pensé qu'il faut utiliser une loi Binomiale, comme toi. Mai une loi binomiale nécessite que les absences de clients ayant réservé soient indépendantes, ce qui est à priori faux : On va rarement au restaurant seul.
Tu peux rédiger ainsi : "En supposant les abandons de réservations indépendants (même si c'est une hypothèse peu crédible), Y suit la loi binomiale B(....) ..."
Je te laisse calculer, mais en tout cas, X n'a rien à voir ici (on connaît sa valeur, très improbable, 110). Et au moins 101 n'est pas >101, c'est >100 ou >=101.

[A voir en vidéo sur Futura]

[kaderben]

On va rarement au restaurant seul.

: c'est vrai!
Donc Y suit la loi binomiale B(110;0,9)
P(y>=101)=0,329

Cela fait un bout de temps que je n'ai pas révisé les lois à densité (terminale S), ce n'est pas une excuse...
Mais je me demande pourquoi le raisonnement suivant:" quelle est la probabilité que le restaurateur reçoive au moins 101 clients." m'a complètement échappe!

[gg0]

C'est la difficulté de décodage de cet énoncé, qui est d'ailleurs à laisser de côté, vu que la loi de Y n'est pas connue (la loi binomiale n'arrive qu'avec le rajout d'une hypothèse fantaisiste; il est très très improbable qu'il ait 110 réservations si le début de l'énoncé est correct.). On donne une loi Normale, puis ensuite, on introduit artificiellement une autre notion. Mais c'est le format actuel des exercices de proba au bac.

[kaderben]

Merci ggO pour tout !