Dm spécialité MATHS

[sev51340]

Bonjour,
Je bloque sur une question de mon DM.
Résoudre l'équation dans Z :
(x+3)^2 congrus à 1 modulo 4
Merci de votre aide.
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[Lutyx]

Bonjour à toi,

Connais tu la définition d'une congruence ? Que représente quelques chose congru à 1 pour toi ?

[sev51340]

Pour moi, quelque chose congrus à 1, veut dire que la division de ce nombre par un autre a un reste égal à 1.
Donc (x+3)^2 congrus à 1 modulo 4 veut dire que la division de (x+3)^2 par 4 a un reste valant 1.

[Resartus]

Bonjour,
Avec des petites congruences, le plus simple est de tester les divers cas possibles :
il faut commencer par étudier les carrés des nombres de 0 à 3 (voyez-vous pourquoi il est inutile d'en calculer d'autres?), retenir ceux dont le carré est congru à 1, et ensuite d'en tirer les conséquences pour x...

[A voir en vidéo sur Futura]

[sev51340]

Justement j'ai fais une table de restes, j'ai vu que pour x=1 et x=3, x^2 a pour reste 1. Donc x^2 congrus à 1 modulo 4, il y a deux solutions x=1 et x=3.
Après j'ai fais x+3 congrus à 1 modulo 4 revient à faire x congrus à -2 modulo 4.
Sauf que -2 n'est pas vraiment un reste alors je lui ai ajouter 4 et on obtient x congrus à 2 modulo 4 et après je suis bloqué je ne sais pas comment trouver les x possibles, est ce qu'il faut regarder dans la table de restes ou comme me l'a dit quelqu'un 2=4*qqc (ce que je n'ai pas compris).

Puis de l'autre côté j'ai enlevé le carré faisant alors x+3 congrus à 1 modulo 4 mais vu que j'ai ajouté trois à x j'ai aussi ajouté 3 à 1 : x+3 congrus à 4 modulo 4 donc x+3 n'a plus de reste donc x=0 ou x=2. Et vu que l'équation est sur Z, x=0, x=2 et x=-2. Je ne sais vraiment pas si mon raisonnement est bon.

J'ai l'impression de m'être embrouillé, et je ne sais plus comment résoudre l'équation, ce qu'il faut faire.

[Resartus]

Bonjour,
Vous avez bien retrouvé que x doit être congru à 0 ou à 2 modulo 4.
Maintenant, c'est du cours de savoir que tous les nombres congrus à x modulo y sont de la forme x+k*y (ou k peut prendre n'importe quelle valeur nulle, positive ou négative). Ici par exemple les nombres congrus à 2, c'est 2, 2+4=6, 10, 14,... mais aussi -2, -6,...

[PlaneteF]

Bonjour,

Autre façon de raisonner si l'on a l'intuition ou l'on connaît déjà le résultat :

Un nombre impair s'écrit sous la forme donc dans ce cas qui n'est donc pas solution. Donc les nombres impairs ne font pas partie de l'ensemble des solutions de cette équation.

Faire le même type de raisonnement avec les nombres pairs pour constater que eux font partie des solutions.

Cordialement

[sev51340]

Je ne comprends pas mon cours alors.
On a trouvé que (x+3)^2 est congrus à 0 ou 2 modulo 4. Mais dans ma table de restes 2 n'apparaît pas en reste, il n'y a que 0. C'est ça qui me perturbe.

Donc selon le cours : x congrus à 0 modulo 4, x=4*k+0
x congrus à 2 modulo 4, x=4*k+2
Donc pour congrus à 0 et 2, k peut valoir -1, 1,-2, 2,-3, 3.....jusqu'à l'infini alors. Donc x= à tous les multiples de 4 et à tous les multiples de 4 auxquels on ajoute 2.
Mais est-ce qu'on prend le x congrus à 2 modulo 4 même si 2 n'apparaît pas dans la table de restes?
J'espère avoir compris.

[Resartus]

Bonjour,
Mais non, vous régressez :
Relisez-vous : vous avez vous même trouvé que (x+3)^2 est congru à 1 si (x+3) est congru à 1 (1er cas) ou congru à 3 ( 2ème cas)
Et vous avez trouvé ensuite que x+3 congru à 1 signifie que x est congru est 2, et que x+3 congru à 3 signifie que x est congru à 0.

Il ne reste plus qu'à donner la formule générale des x qui sont soit congrus à 2, soit congrus à 0. Il n'y plus de carré, là...Juste une formule du cours, qui donne les x, et que je vous ai d'ailleurs rappelée.

[sev51340]

J'ai tout refais dans l'ordre pour ne pas m'embrouiller.
On a à la fin x=2+k*4
et x=k*4
Mais après je ne sais pas comment faire, que vaut k? Il n'y a pas de formule pour trouver k et donc trouver x.

[Resartus]

Bonjour,
Toutes les valeurs de k entier relatif conviennent : il y a deux familles de solutions pour les x....

[PlaneteF]

On a à la fin x=2+k*4
et x=k*4

Oui mais il y a une présentation plus simple -> Cf. message#7

Cordialement

[sev51340]

Désolé mais je ne vois pas ce que vous voulez dire dans "deux familles de solutions".

[PlaneteF]

@sev51340,

L'ensemble des solutions est tout simplement l'ensemble des nombres pairs. Après tu peux le présenter de manière formelle.

Cordialement

[sev51340]

Le fait que 4*k est égal à 2*2*k donc c'est pair puis 4*k+2 est égal à 2*2*k+2 donc c'est pair, ce serait impair si 4*k+1 ou 4*k+3 ect

[PlaneteF]

Je ne sais pas comment on présente aujourd'hui les ensembles de solutions au Lycée, à mon époque on écrivait par exemple :

, ce qui correspond bien à l'ensemble des nombres pairs.

Cordialement

[sev51340]

Je n'ai jamais vu cette formule, mais je vais rédiger une phrase pour l'expliquer.
Merci à tous de m'avoir aidé, j'ai un peu plus compris mon cours du coup.
Bon week end à tous!

[PlaneteF]

Ben dans ce cas tu peux écrire par exemple que l'ensemble des solutions est constitué des entiers relatifs de la forme avec , soit l'ensemble des nombres pairs.

Cordialement

[sev51340]

D'accord, merci!