DM de maths TS

[nathM]

Bonsoir,
J'ai commencé mon exercice mais je n'arrive pas à voir la technique qu'il faut utiliser pour répondre à la première question.
Dans un cinéma, deux parties sont à des niveaux différents, le dénivelé étant de un mètre. On désire créer une rampe d'accès reliant les deux plates-formes.
Un bureau d'étude étudie une solution dont le profil sera donné par la courbe d'une fonction. On choisit le repère orthonormé (A;i,j) dans lequel le point B a pour coordonnées (4;1).
(On prendra comme unité graphique 4cm)
La courbe doit obéir aux contraintes suivantes:

* Elle doit passer par les points A et B et par le milieu I du segment [AB]
* Les tangentes à la courbe en A et B doivent être horizontales.

a) Le bureau d'étude choisit la courbe d'une fonction polynôme du troisième degré de la forme f(x)=ax^3+bx^2+cx+d où a, b, c, d sont des réels.
Déterminer les réels a, b, c, d pour que les contraintes soient vérifiées.

b) Etudier les variations sur l'intervalle [0;4] de la fonction f obtenue. Tracer la courbe représentative de f et les tangentes aux points A, B et I.

c) La pente d'une courbe en un point est égale au coefficient directeur de la tangente à cette courbe en ce point. déterminer la pente pour la courbe de f.

J'ai des problèmes pour répondre à la question a) et c) . pour la question b) cela devrait aller.

Merci pour votre aide.
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[Edvart]

Salut,
Déjà, si la courbe de f est le tracé de la rampe et qu'on veut que la rampe passe par le point A de coordonnées (0,0), il faut que f(0) = 0 (essaie de résoudre cette équation, ça va te donner une des constantes)
De plus, si la courbe de f doit avoir une tangente horizontale en A, que peut-on dire de la courbe de f', la fonction qui à x associe le polynôme dérivé de f(x)? Si tu comprends ce que je veux dire, tu devrais trouver une équation qui ressemble beaucoup à la première (f(0) = 0) et qui va te donner une autre constate.
(C'est comme en physique quand tu dois trouver des constantes grâce aux conditions initiales)

[nathM]

J'ai déjà trouvé d (d=0), après vu que la tangente en A est horizontale, le coefficient directeur est égal à zéro donc on a f'(0)=0.
Donc on a f'(x)= 3ax^2+2bx+c
f'(0)=c
c=0
J'espère que c'est ça!

[Edvart]

Voilà c'est ça, dont d = c = 0. Il te reste deux choses que tu n'as pas exploitées et qu'il faut selon moi exploiter ensemble :
La courbe de f passe par le point I(2, 1/2)
La pente de la courbe au point B vaut 0

Essaie de traduire ça par des équations de la même façon que tout à l'heure, tu vas voir que ça va te donner un système de deux équations linéaires (simples) avec deux inconnues, a et b, que tu sais résoudre avec le pivot de Gauss

[A voir en vidéo sur Futura]

[nathM]

Donc on a f(2)=1/2
donc f(2)=8a+4b=1/2: la première équation du système
Ensuite la deuxième équation je ne sais pas l'interpréter.
Le pivot de Gauss, c'est la méthode qu'on apprend en 3ème? Parce que je n'ai jamais vu ce "théorème".

[Edvart]

Oui le pivot de Gauss c'est ce que tu vois en troisième je crois.
Alors tu as d'une part f(2) = 1/2 c'est bien.
Si la tangente au point B est horizontale, alors f'(4) = 0

[kcnarf07]

En 3ème, on ne parle pas de pivot de Gauss mais de résolution des systèmes par subsitution ou par élimination.

[nathM]

Désolé de répondre aussi tard.
Donc je me suis rappeler d'une technique de résolution de système vu en seconde:
8a+4b=1/2
48a+8b=0

(8a+4b=1/2) que j'ai multiplié par 48
(48a+8b=0) que j'ai multiplié par 8

Je soustrait les deux équations obtenues donc:
384a+192b=24
-
384a+64b=0

On a 192b-64b=24-0
128b=24
Donc b=3/16

Et ensuite je remplace b dans une des équation et je trouve a=-1/32

J'espère que c'est bon du coup.

[Edvart]

Tu n'as plus qu'à tester ton polynôme sur une calculatrice graphique, avec les coefficients que tu as trouvé, c'est à dire :
f(x) = (-1/32)x^3 + (3/16)x^2 et tu regardes s'il respecte les conditions que tu avais posé

[nathM]

J'ai vérifié sur ma calculatrice, c'est conforme.
Ensuite pour la question b, j'ai déterminé la dérivé de f(x) -> (-3/32)*x^2+(3/8)*x
Et donc les variation de f sur [0;4] : f est strictement croissante puisque f'(x) est positive.
Si c'est bon, il me restera plus qu'à tracer la courbe.
Mais la question c est un peu plus compliquée pour moi, il faudrait en fait trouver en quelle valeur f'(x) est maximale? Si c'est ça, je ne vois pas trop comment faire...

[Edvart]

Pour être honnête ton sujet m'étonne un peu, je trouve que les questions a) b) et c) se recoupent les unes les autres.
b) Etudier les variations de f sur l'intervalle [0,4]
Qui dit étudier les variations dit, à moins de trouver des astuces, étudier le signe de la fonction dérivée. Le signe de f' c'est dans tes cordes : puisque f(x) est un polynôme du troisième degré, f'(x) est un polynôme du second degré, dont tu sais trouver le signe sur .
c) La pente de f, pour moi, c'est la fonction dérivée de f... sauf que tu t'en es déjà servie pour résoudre les questions a) et b), donc tu as déjà déterminé f', et donc te demander de trouver f' à la question c) c'est étrange! Es-tu sûr de ton énoncé?

[nathM]

La fin de la question c) est "déterminer la pente maximale pour la courbe f." Le reste de l'énoncé est le même que sur ma copie
Mais ça veut dire qu'il faut trouver quand f'(x) est "est la plus élevée", mais sur [0;4] mon tableau de variation de la question b) me montre que f'(x) est positive et que f'(0)=0 et que f'(4)=0. Il faudrait donc trouver cette fois les variations de f'(x) puisqu'elle certes positive mais elle peut être croissante et décroissante en restant positive. Mais peut-on faire la dérivé d'une dérivé? Pour ensuite trouver les variations de f'(x) sur [0;4] et trouver alors comme le dit l'énoncé un maximum.

[Edvart]

Alors en effet, la pente maximale de la fonction f sur l'intervalle [0,4], c'est le max de f' sur l'intervalle [0,4]. Rappelle-toi que f'(x) est un polynôme du second degré, et que son graphe est une parabole. Tu sais de plus que f'(0) = f'(4) = 0 et que f' est positive sur [0,4].
Fais un petit dessin, essaie de tracer une parabole qui passe par les points (0,0) et par les points (4,0) tout en restant au dessus de l'axe des abscisses sur l'intervalle [0,4]. Quand tu auras réussi à faire un dessin, tu devrais faire le rapprochement entre le max de f' sur [0,4] et un certain point de ta parabole. Pas besoin de dériver f'

Et pour répondre à ta curiosité, oui on peut faire la dérivée d'une dérivée, et sur les polynômes on peut même dériver autant de fois qu'on le souhaite... mais là ce n'est pas utile!

[nathM]

D'accord merci, maintenant je le saurai!
Donc selon la parabole de f'(x), elle aurait un maximum pour x=2, donc f'(2)=3/8 : La pente maximale pour la courbe f vaut donc 3/8.

[Edvart]

Voilà je crois que le résultat est bon, tu n'as plus qu'à faire attention de bien justifier tes résultats (par exemple ici que tu as trouvé le max grâce au sommet de la parabole etc)

[nathM]

D'accord, je le ferai. Merci de m'avoir aidé, passez une bonne fin de journée.