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Résolution d'équation

  1. Matlabo

    Date d'inscription
    septembre 2017
    Âge
    15
    Messages
    103

    Résolution d'équation

    Bonjour ou bonsoir,
    Je me demandais si vous pourriez m'aider à trouver la valeur de a et b dans ceçi:

    On a

    a^2 + b^2 = 9
    2ab = 2√5

    J'ai déjà essayé de la résoudre pour trouver la valeur de a et b pour que dans la première équation on trouve 9 et dans la deuxième on trouve 2√5.

    Merci

    Ps: par intuition j'ai trouvé que la valeur de a sera 2 et la valeur de b sera √5.
    Mais j'aimerai avoir la méthode.

    -----

     


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  2. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
    Âge
    68
    Messages
    21 577

    Re : Résolution d'équation

    Bonjour.

    A priori, il y a plusieurs solutions.

    Une méthode générale :
    La deuxième équation montre que a est non nul. On peut alors calculer b en fonction de a ("tirer b de l'équation"), puis remplacer dans la première. On obtient une équation en a qu'on résout.

    Une méthode particulière ici :
    en additionnant les deux équations, on trouve la valeur de (a+b)², on en déduit celle de a+b (2 cas). Pour chaque cas, on a la valeur de S =a+b et de P=ab, on en déduit que a et b sont les racines de l'équation x²-Sx+P=0. On résout, et on obtient éventuellement les deux couples de solutions. Finalement, on a jusqu'à 4 couples de solutions.

    Bon travail !

    NB : si tu bloques en faisant le travail, expose ce que tu as fait, on t'aidera à continuer.
     

  3. Matlabo

    Date d'inscription
    septembre 2017
    Âge
    15
    Messages
    103

    Re : Résolution d'équation

    Bonjour,
    Dsl, j’au umpeu tarder à répondre
    Et oui j’ai déja essayer de la résoudre de cette façon mais j’ai eu quelques difficultés.

    On a:
    a^2 + b^2 = 9
    b^2 = 9 - a^2
    b = √(9-a^2)

    b = 3 - a

    2ab = 2√5
    ab = √5
    a ( 3 - a ) = √5

    3a - a^2 = √5

    Puis, c’est là que j’ai du mal à continuer, j’ai quelques hypothèse mais j’aimerai avoir la votre.

    Quant à l’autre méthode je croyais que pour additioner fallait d’abord opposé 2 facteurs pour qu’on les additionnant on trouve 0 .

    Sinon çi ce n’est pad cette technique que vous aviez écris j’aimerai que vous me l’expliquez d’avantage.

    Merci beaucoup.
     

  4. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
    Âge
    68
    Messages
    21 577

    Re : Résolution d'équation

    Bonjour.

    Tu n'as pas pris la façon la plus facile, sans compter que tu fais une énorme erreur :
    "b = √(9-a^2)

    b = 3 - a"
    Si b=3-a, alors b²=(3-a)² qui fait 9+a²-6a, pas 9-a².

    je suis aussi surpris que tu n'arrives pas à continuer (*) après 3a - a^2 = √5 qui est une banale équation du second degré ! A moins que tu sois en seconde, mais on ne donne pas ce genre d'exercice en seconde.

    La méthode est bien plus simple en faisant ce que je te propose.

    "Quant à l’autre méthode je croyais que pour additioner fallait d’abord opposé 2 facteurs pour qu’on les additionnant on trouve 0 ." ?? parce que tu as fait un exercice qui utilisait cette simplification, tu crois qu'on n'a pas le droit d'appliquer les règles des maths autrement ???
    C'est quand même évident que si U=V et U'=V', alors U+U'=V+V' quels que soient les nombres U (qui est U') et V (qui est V'). Et c'est une règle de base sur les équations, qu'on voit en troisième ou début de seconde. Qu'est-ce qui interdirait de faire ce calcul ?

    Ignorerais-tu que ce qui compte dans ton apprentissage c'est de connaître les règles ? Et une fois qu'elles sont connues, de ne travailler qu'en appliquant des règles. Après, on voit des applications un peu systématiques (exercices du même genre) auxquelles on s'habitue.
    Mais en aucun cas, il n'est interdit de faire un calcul parce qu'il "ne fait pas comme d'habitude".

    Allez, au travail, sans erreur de calcul, en appliquant l'une des méthodes que je t'ai signalée.

    (*) même si ça ne sert à rien, puisque c'est faux !
     

  5. Matlabo

    Date d'inscription
    septembre 2017
    Âge
    15
    Messages
    103

    Re : Résolution d'équation

    Bonjour, ( désolé j'ai encore tardé à répondre )

    Merci pour votre réponse et oui je me doutais bien que j'avais fait une faute et aussi que c'est vrai que je suis en 1AS et aussi qu’on est pas vraiment entrer dans la résolution des équations de second degré mais je me suis renseigné un peu sur ce sujet.

    Et en vérité l'origine de ces deux équations c'est qu'on nous a demandé de calculer ceci par exemple

    A = √(9-4√5) √(9+4√5)
    Et je me suis dit qu'en mettant ce qui est dans la racine carrée au carré comme (a+b)^2 je pourrais résoudre.

    Donc on a

    9-4√5 = a^2 + b^2 - 2ab

    Et on déduit que

    a^2 + b^2 = 9
    2ab =4√5

    En résolvant on trouvera la valeur de a et b.

    " C'est quand même évident
    si U=V et U'=V', alors U+U'=V+V' quels que soient les nombres U (qui est U') et V (qui est V').
    c'est une règle de base sur les équations, qu'on voit en troisième ou début de seconde. Qu'est-ce qui interdirait de faire ce calcul ?”

    Oui oui j'ai bien compris mais quelle est la valeur de U et quelle est la valeur de V , U’ et V’

    On a

    a^2 + b^2 = 9
    2ab =4√5. donc ab = 2√5

    Alors
    b^2 = 9-a^2

    Possible que je me trompe

    b = √(9-a^2)

    C’est là qu’on déduit que
    9 - a^2 ≥ 0

    Alors

    3 ≥ a ≥ -3



    Ce serait bien si vous m'expliquiez davantage cette façon de résoudre et aussi la deuxième.

    Merci beaucoup.
     


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  6. Matlabo

    Date d'inscription
    septembre 2017
    Âge
    15
    Messages
    103

    Re : Résolution d'équation

    J'ai changé
    2 √5 par 4√5
     

  7. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
    Âge
    68
    Messages
    21 577

    Re : Résolution d'équation

    En fait, ce qui compte pour simplifier c'est que a et b soient simples. Et tu ne cherches pas toutes les solutions.
    En passant au carré sur la deuxième équation, tu obtiens a²b²=20
    Posons x=a² et y=b². On a:
    x+y=9
    xy=20

    Il y a une solution évidente (comparaison des tables d'addition et de multiplication), mais on peut la retrouver par ce calcul :
    y=20/x
    donc x+20/x=9
    en multipliant par x :
    x²+20=9x
    x²-9x+20 = 0
    Delta = 81-4*1*20 = 1
    x=(9-1)/2 ou x=(9+1)/2
    x=4 ou x=5
    si x=4, y=5, si x=5, y=4
    donc a=2 et b=√5 (ou l'inverse).

    ce qui compte, ici, c'est que Delta soit un carré, sinon on complique.

    Pour l'autre méthode, en additionnant les deux équations on obtient
    a²+b²+2ab= 9+4√5.
    (a+b)²=9+4√5.
    Et dans ce cas, on peut continuer, et trouver a+b, puis, comme au dessus, a et b. mais ça ne donnera une expression simple que si on sait transformer 9+4√5 en un carré. On tourne en rond.

    Cordialement.
     

  8. Matlabo

    Date d'inscription
    septembre 2017
    Âge
    15
    Messages
    103

    Re : Résolution d'équation

    Bonjour;
    Merci pour vos explications j'ai bien compris.

    Merci
     

  9. Matlabo

    Date d'inscription
    septembre 2017
    Âge
    15
    Messages
    103

    Re : Résolution d'équation

    Salut;

    Je relance la discussion et j'aimerai savoir pourquoi:
    y=20/x
    donc x+20/x=9
    x²+20=9x

    Pourquoi multiplié par x ???

    On a qu'a à calculer
    x+20/x=9

    Nn ? Oui je sais non car on trouve pas le résultat mais pourquoi?

    Merci beaucoup .
     

  10. God's Breath

    Date d'inscription
    décembre 2007
    Messages
    9 525

    Re : Résolution d'équation

    Citation Envoyé par Matlabo Voir le message
    Pourquoi multiplié par x ???
    Pour se débarrasser du dénominateur et obtenir une équation polynomiale : on préfère, et de loin, les sympathiques équations polynomiales aux équations rationnelles avec de vilains dénominateurs qui pourraient avoir le mauvais goût de s'annuler.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
     

  11. Matlabo

    Date d'inscription
    septembre 2017
    Âge
    15
    Messages
    103

    Re : Résolution d'équation

    Ok d'accord .

    Merci
     


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