Quelques questions ....

[Matlabo]

Donc ça y'est pour la partie 1 de cette question c'est bon.

Pour la 2)

a² - b² = -

= -

=
= P


Mais je ne vois pas trés bien ce que je pourrai déduire sur l'écriture des nombres premiers ?......

Merci;

P.S : tous ce qui est point d'exclamation en haut dans les calculs c'est la puissance 2.
-----

[gg0]

On ne te demande pas quelque chose de compliqué, seulement de redire en français ce que tu viens de trouver (p=a²-b²).

Cordialement.

NB : dans LaTeX, jamais ², toujours ^2.

[Matlabo]

Ah!!Donc on en déduit que chaque Nombre premier (A) peut être écrit sous forme de a² - b²,.......... avec a = et b = . Alors d'accord


J'ai donc une autre question:
3) On a x et y deux réels entièrement positifs (différents de 0).
a) Compare x + y et 2 et entre 2 et x + .

Je me suis dit que j'allai mettre au carré puis faire la différence mais je n'arrive pas au but. Je me dis que soit y'a une faute ou ce n'est pas la bonne méthode.

Merci;

[gg0]

Dans le premier cas, ça marche. Donc tu rates quelque chose. Si tu ne mets pas tes calculs ici, on ne peut pas t'aider.
Pour x+1/x et 2, la différence suffit.

[Matlabo]

Oui, effectivement... j'ai pas remarqué quelque chose:
[*]Entre x+y et 2

(x+y)² - (2)² = x²+y²+2xy - 4xy
= x² +y²-2xy
= (x-y)²

Etant donné, que (x-y)² est entièrement positifs (car c'est un carré) (différents de 0 car x et y sont entièrement positifs.On en déduit que (x+y)² >(2)² , et étant donné que x+y et 2 sont entièrement positifs.

On trouvera donc x+y > 2

[*]Entre 2 et x +


2 - x + =

4

=

Et étant donné que (x-1)²> 0 et x >0 donc > 0, et puisque la différence de 2 et x+ est entièrement positifs on en déduit que 2 > x +

Merci

[fartassette]

salut, Matlabo

Pour ta réflexion personnelle

Tu pourras remarquer qu'il s'agit d'identité remarquable : quelques soit


Par exemple si on dit :



et si on a alors

[ansset]

[*]Entre 2 et x +


2 - x + =

4

=

il s'agit de comparer 2 et f(x)=x+1/x
donc la soustraction est
2-(x+1/x)=2-x-1/x
erreur de signe au départ qui amène à une mise en facteur fausse( même la tienne comporte en plus des erreurs ), ainsi que le résultat final.

[gg0]

Attention, tu confonds "entièrement" (tout entier) et "strictement" (de façon stricte). "entièrement positif" n'a pas vraiment de sens, on ne peut pas être "à moitié positif". Strictement positif veut dire positif et non nul.
Attention encore : x et y peuvent très bien être égaux, donc x+y > 2 est faux.
Le résultat correct est


Cordialement.

(*) on met toute la formule mathématique dans les balises TeX, pas seulement un petit bout; c'est plus lisible.

[Matlabo]

salut, Matlabo

Pour ta réflexion personnelle

Tu pourras remarquer qu'il s'agit d'identité remarquable : quelques soit


Par exemple si on dit :



et si on a alors

Pourquoi poser la condition ou ce n'est pas grave si au final on trouve ou ? Surtout qu'on a dit que x et y sont strictement positifs.

Attention, tu confonds "entièrement" (tout entier) et "strictement" (de façon stricte). "entièrement positif" n'a pas vraiment de sens, on ne peut pas être "à moitié positif". Strictement positif veut dire positif et non nul.
Attention encore : x et y peuvent très bien être égaux, donc x+y > 2 est faux.
Le résultat correct est


Cordialement.

(*) on met toute la formule mathématique dans les balises TeX, pas seulement un petit bout; c'est plus lisible.

il s'agit de comparer 2 et f(x)=x+1/x
donc la soustraction est
2-(x+1/x)=2-x-1/x
erreur de signe au départ qui amène à une mise en facteur fausse( même la tienne comporte en plus des erreurs ), ainsi que le résultat final.

Oui...........J'ai remarqué aprés avoir posté....

On aura donc : 2-(x+1/x) = 2-x-1/x = =

Etant donné que la différence entre 2 et x + 1/x est négative (Mais pas strictement négative) on en déduit que effectivement

Merci.

[ansset]

Etant donné que la différence entre 2 et x + 1/x est négative (Mais pas strictement négative) on en déduit que effectivement

grrr ! c'est bien un >= car il y a égalité si x=y ( qui s'écrit \geq sous latex )

sinon effectivement on peut déduire la seconde inégalité de la première.
ainsi si pour deux réels strictement positifs.

devient en prenant y=1/x

moins direct ( tu ne dis pas comment ) de dire comment tu tires la première inégalité de la seconde ! comment procèdes tu ?

[Matlabo]

AH!!!!!!!!! oui effectivement on peut tirer la réponse de la 2eme question depuis la 1ere... juste en remplaçant dans la 1eme inégalité le y par 1/x ........

eeeee.... quand j'ai écrit

Etant donné que la différence entre 2 et x + 1/x est négative (Mais pas strictement négative) on en déduit que effectivement

...... bahhh c'était une faute j'ai voulu écrire qu'on en déduit que 2 x + 1/x ............

J'aimerai savoir s'il y'a une façon pour réussir à trouver ce genre de chose ( on peut tirer la réponse à la 2eme question depuis la 1ere... juste en remplaçant dans la 1eme inégalité le y par 1/x )

Merci

[Matlabo]

P.S: Quand gg0 a écrit que ...c'est bien une faute sa devrait bien être

[ansset]

eeeee.... quand j'ai écrit ...... bahhh c'était une faute j'ai voulu écrire qu'on en déduit que 2 x + 1/x ............

déjà évite de tromper encore une fois dans le sens de l'inégalité.
pour le reste, il est trop tard pour moi ( essayer de déduire la première à partir de la seconde )

[ansset]

réveil de nit:
on peut le faire, mais c'est plus tortueux que la simple démo initiale.
soit x et y strict positif. on pose
, et on applique la deuxième inégalité
, d'où

on peut multiplier gauche et droite par
on en déduit

[TEX][x+y <= 2\sqrt{xy}

[ansset]

correction des erreur Latex
réveil de nit:
on peut le faire, mais c'est plus tortueux que la simple démo initiale.
soit x et y strict positif. on pose
, et on applique la deuxième inégalité
, d'où

on peut multiplier gauche et droite par
on en déduit

[Matlabo]

Oui, effectivement ...........Y'a t-il une astuce ou plutôt une démarche pour trouver la réponse à se genre d'exercice qui ont ces trucs cachés ?........ sa serait bien utile..

[fartassette]

Salut, matlabo


J'ai simplement voulue donner l'exemple ou le cas ou x et y sont distinct.. pour que tu puisses mener ta propre réflexion

[fartassette]

Re


Tu accordes beaucoup d'intérêt à ce type d'inégalité et t'encourage à continuer sur cette voie .Je te donne un exemple qui est équivalent à

a différent de b
On dit que la moyenne arithmétique est supérieur à la moyenne géométrique intéresse toi un peu à ces moyennes


Cordialement,

[Matlabo]

J'ai vu ce qu'est la moyenne géométrique et arithmétique mais en quoi sa pourrait m'aider ?

Merci

[ansset]

je prend un exemple beaucoup plus simple pour commencer.
prenons une fonction convexe : c-a-d que pour b>a le segment reliant f(a) à f(b) est au dessus de la courbe de f(x) entre a et b.
( fct dont la dérivée est croissante en fait comme f(x)=x² ).
c'est le cas par exemple du taux d'imposition sur le revenu.
du fait : deux personnes avec des revenus assez différents ont intérêt à se déclarer ensemble.
de même : il est bien connu qu'il vaut mieux se déclarer séparés ( en gros ) en milieu d'année.

[fartassette]

Re


or ,un carré est toujours positifs pour tout nombre réel donc Moyenne arithmétique Moyenne géométrique


Tu pourras remarquer que si les deux quantités positives a,b sont inégales , on a alors

Bon maintenant que tu as eu l’explication de cette histoire entre l’arithmétique et le géométrique

On peut aller très très vite à condition d'être imaginatif..
ce qui est vraie également , perso je préfère


Bonne continuation

[Matlabo]

Bon d'accord je vois ce qu'est une fonction convexe mais je ne vois toujours pas ce que vous voulez dire ?


j'ai aussi ceci:Un menuisier veut découper du contre plaqué d'une longeur de et d'une largeur de ........Pour que tous les morceaux soient des carrés tous identiques et que chaque morceau soit le plu spacieux possible et que chaque morceau soit un carré de façon à ne pas perdre du contre plaque i.e sans chutes ou sans avoir de perte .

1)On nous demande de calculer la longeur de chaque côté du carré i.e de chaque morceau découpé ?

Pour cela j'ai calculé le PGCD de 110 et 88


Donc chaque carré doit avoir une longeur de 22 cm.

Et y'aura formation de 20 carré.

Merci. Normalement c'est juste s'il y'a des propositions pour améliorer n'hésitez pas!

[ansset]

Oui, c'est OK, mais la question avait déjà été posée, non ?
sinon :

Bon d'accord je vois ce qu'est une fonction convexe mais je ne vois toujours pas ce que vous voulez dire ?

mon exemple est plus simple que la remarque de farfassette sur les moyennes arithmétiques et géométriques.
prenons un couple ou l'un gagne bien plus que l'autre.
le montant d'imposition augmente plus vite qu'une courbe linéaire. ( taux croissant )
la fct f(x) est convexe.( si f(x) est l'imposition et x le salaire )
- s'ils se déclarent séparément
A qui gagne xa va payer f(xa)
B qui gagne xb va payer f(xb)
au total ils paieront f(xa)+f(xb) pour 2 soit une moyenne de (f(xa)+f(xb))/2
s'ils se déclarent ensemble ils paieront ( car il y a 2 parts )
f( (xa+xb)/2)
Comme la fct est convexe :
(f(xa)+f(xb))/2>f( (xa+xb)/2)

Un petit dessin suffit à s'en rendre compte.

[Matlabo]

D'accord, normalement je vois ce que vous voulez dire ...En faite j'ai pas vu le message de fartassette............car j'étais entrain d'écrire le mien (22:55 ; 22:57).

Merci!!!! pour toutes vos réponses