Problème par récurrence

[HELLINA]

Bonjour,
Voici un exercice mais je ne suis pas se du résultat :
On considère la suite (Un) définie sur N par:


Un=0 et Un+1=2/5Un+3
Démontrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que, pour tout entier naturel n:



Un =5[1-(2/5)^n]

Voici mon résultat :

On considère la suite (Un) définie surN par Un=0 et Un+1 =2/5Un+3; Un =5[1-(2/5)^n]
P(n)=U0
P(n)=Un
P(n+1)=Un+1

Initialisation
U0=0
U0=5[1-(2/5)^]
U0=0
DoncP(0) est vérifié

Hérédité
On suppose que P(n) doit faire pourtour n€N
Un+1=2/5 Un+3
Un+1=2/5[5(1-(2/5)^n)]+3
Un+1=2/5x5+3[1-(2/5)^n]
Un+1=5[1-(2/5)^n]
Un+1=Un
P(n+1)est vraie, ceci est valable pour tout n appartient D'où l'hérédité p(n)


Merci de me dire si j'ai fait un bon raisonnement. Cordialement hellina
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[Duke Alchemist]

Bonsoir.

L'énoncé est confus
Par exemple, c'est U₀ = 0 et non U_n = 0

* Initialisation : Montrons qu'au rang 0, U₀=0
Calculons U₀ : U₀ = 5(1-(2/5)⁰) = 5(1-1) = 0
OK si ce n'est que la première ligne "U₀=0" n'est pas judicieuse ou alors il faut rédiger un minimum comme ci-dessus

* Conjecture : Supposons que U_n = 5(1-(2/5)ⁿ)

* Hérédité : Montrons que pour tout naturel n, on a U_n+1 = 5(1-(2/5)ⁿ)
Pour cela on part de la définition de la suite U_n et nous allons prouver que U_n+2 = 5(1-(2/5)ⁿ⁺¹).
U_n+2 = 2/5U_n+1 + 3 = ...
... (je te laisse les étapes quand même )
... = 5(1-(2/5)ⁿ⁺¹) La difficulté réside à exprimer convenablement cette expression.
Ce que l'on voulait montrer... L'hérédité ne consiste pas à montrer que U_n+1 = U_n...

* Conclusion : ...

Cordialement,
Duke.

[ansset]

Voici mon résultat :
......
Un+1=2/5[5(1-(2/5)^n)]+3
Un+1=2/5x5+3[1-(2/5)^n]

le passage entre ces deux lignes est faux.
d'ailleurs au final on doit retrouver un facteur (2/5)^(n+1)

[HELLINA]

bonjour,
merci beaucoup pour votre aide mais je n'arrive pas à trouver les mêmes résultats que vous, pourriez vous m'aider ?
merci par avance, cordialement

pourquoi Un+2 ?

moi je trouve Un+2=5(1.6-(2/5)^n+1)
je suis complément perdue

[A voir en vidéo sur Futura]

[HELLINA]

Bonjour,
merci beaucoup pour votre aide mais je n'arrive pas à trouver les mêmes résultats que vous, pourriez vous m'aider ?
merci par avance, cordialement

pourquoi Un+2 ?

moi je trouve Un+2=5(1.6-(2/5)^n+1)
je suis complément perdue

[ansset]

je pense que Duke a fait une erreur de frappe.
On a :
-On considère la suite (Un) définie surN par Un=0 et Un+1 =(2/5)Un+3; Un =5[1-(2/5)^n]
-U(0)=0
l'hypothèse de récurrence entraîne
U(n+1)=(2/5)5(1-(2/5)^n)+3 comme tu l'as écrit.
Ensuite c'est ton développement qui n'est pas bon.
et tu dois arriver à
U(n+1)=5(1-(2/5)^(n+1)).
je te laisse quand même essayer de le faire, ce n'est pas compliqué.

[HELLINA]

Merci je recommence de suite

[HELLINA]

je trouve : 2/5x5(1-(2/5)^n)+3
2(1-(2/5)^n)+3
là je bloque, je ne comprends pas comment trouver (2/5)^n+1

[ansset]

je trouve : 2/5x5(1-(2/5)^n)+3
2(1-(2/5)^n)+3
là je bloque, je ne comprends pas comment trouver (2/5)^n+1

tu ne fais pas d'effort.
2(1-(2/5)^n)+3 est OK.
on développe:
2+2(2/5)^n+3 = 5+2(2/5)^n
mais 2=5(2/5) donc.......
là , je te laisse finir.

[HELLINA]

j'avoue etre perdue :

Un+1 = 2/5x5(1-(2/5)^n)+3
= 2(1-(2/5)^n+3
= 2-2(2/5)^n+3
= 5-2(2/5)^n
= 5-5(2/5)n+1
= 5(1-(2/5)n+1)

[ansset]

ben, c'est justement le résultat attendu !
on avait ( hypothèse de récurrence ) Un=5(1-(2/5)^n) et on montre
U(n+1)=5(1-(2/5)^(n+1))

[HELLINA]

merci beaucoup pour votre patience, bonne journée à vous

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Je ne sais pas ce que j'ai fait là avec les indices... ...
Merci ansset d'avoir relevé

Les corrections en gras (même si c'est désormais inutile ) :
* Hérédité : Montrons que pour tout naturel n, on a U_n = 5(1-(2/5)ⁿ)
Pour cela on part de la définition de la suite U_n et nous allons prouver que U_n+1 = 5(1-(2/5)ⁿ⁺¹).
U_n+1 = 2/5U_n + 3 = ...
... (je te laisse les étapes quand même )
... = 5(1-(2/5)ⁿ⁺¹)...

Encore désolé.

Bonne soirée.

Cordialement,
Duke.