Colinéarité dans un pentagone régulier

[invite0a082673]

Bonjour,

voilà, j'ai quelques difficultés à faire cette exercice, j'y ai bien réfléchi 2 heures mais l'inspiration ne me vient pas.
Situation : On considère un pentagone régulier direct ABCDE de centre O.

Comment montrer que les sommes vectorielles OB + OE et OC + OD sont des vecteurs colinéaires à OA ? (il manque les flèches sur les vecteurs, je ne sais pas comment les mettre). De même comment montrer que les sommes vectorielles OA + OC et OD + OE sont des vecteurs colinéaires à OB ?

Ensuite je dois en déduire que la somme vectorielle OA + OB + OC + OD + OE = 0

Si vous pouviez me donner une petite piste pour cette exercice, en vous remerciant d'avance.

Merci
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[Jackyzgood]

Un pentagone a 5 axes de symétrie, OA en est un. De ce fait on sait que B est le symétrique de E par rapport a OA et de même pour les points C et D. Donc le vecteur OB est symétrique du vecteur OE par rapport a OA, il en est de même pour OC et OD.

La somme OB+OE du fait des propriétés enuméré avant, est forcément un vecteur porté par la droite OA. Il en est de même pour la somme OC+OD.

Pour des raisons de symétrie equivalente mais sur l'axe OB, on peut expliquer que les sommes vectorielles OA+OC et OD+OE sont colinéaire au vecteur OB

On en deduit que :
OB+OE=OA
OC+OD=OA
OA+OC=OB
OD+OE=OB

Donc OA+OB+OC+OD+OE=(1++)OA=(1++)OB
Or OA et OB ne sont pas colinéaire, la seule maniere pour que cette égalité soit juste c'est qu'elle soit nulle ! On en conclue que OA+OB+OC+OD+OE=0

[invite0a082673]

Alors là tu m'impressionnes, je n'aurais jamais pensé à cette histoire de symétrie. Le chapitre étant consacré à la trigonométrie. Merci beaucoup pour ton aide

Amicalement

[invite060efa71]

Encore un qui est resté bloqué sur le 1er exo du 3ème devoir du cours d'été de maths CNED - 1ereS-TleS... C'est pas bien de tricher!

[A voir en vidéo sur Futura]