Probabilité de réussite d'un événement indépendant aprés multiples échecs

[Shinowey]

Bonjour � vous

Tout d'abord, merci par avance pour la lecture de mon probl�me ci dessous et vos futures r�ponses.
Je joue actuellement � un jeu vid�o en ligne et appartient � une guilde (Groupe de personne). Nous venons de passer 1H � d�battre sur une question li�e aux probabilit�s et � la loi binomiale et nous aimerions beaucoup avoir vos lumi�res � ce sujet:

Dans ce jeu, il est possible d'apprivoiser des cr�atures avec une probabilit�s de 5.53%.
A priori, il n'existerait pas de ligne de code cach�e indiquant une augmentation des chances d'apprivoisement apr�s les �checs.
Je consid�re donc que les �v�nements (tentatives d'apprivoisements) sont ind�pendants.

Dans un premier temps, je me suis servi de la loi binomiale et plus particuli�rement des �preuves de Bernouilli pour lui indiquer la probabilit� d'avoir au moins une chance de r�ussite sur 100 tentatives d'apprivoisement.
Sauf erreur de ma part, nous avons 99,66% de chance d'apprivoiser au moins une cr�ature.

Sur ce fait, il n'y a pas de d�bat.

N�anmoins : pour lui s'il �choue les 100 tentatives il aura plus de chance de r�ussir d'avoir un succ�s sur les 10 prochaines tentatives (donc de la 101�me � la 110�me) que les 10 premi�res (de la 1�re � la 10�me).

C'est l� o� nos points de vu divergent: pour moi, il a autant de chance de r�ussir une tentative du 1er au 10�me essai que de 101�me au 110�me essai, m�me apr�s ses pr�c�dents �checs.

Pourriez-vous nous indiquer lequel d'entre nous dit vrai et le d�montrer svp?

Sinc�res salutations

Alexis
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[gg0]

Bonjour.

Si les événements sont effectivement indépendants, cela signifie exactement que ce qui va se passer après 100 essais se produira comme s'il n'y avait eu aucun essai.
Mais on peut contester l'indépendance.

Cordialement.

[gg0]

A noter : copier/coller un texte publié ailleurs donne parfois de drôles de résultats. Mais comme on a le temps de rectifier, il est plus poli de présenter un texte lisible.

[Shinowey]

Bonjour Animateur Mathématique,

Il ne s'agit pas d'un copier/coller... J'ai écris le texte directement sur le Forum.
Pour une raison qui m'échappe, les accents ont été remplacés par des caractères spéciaux.

Néanmoins, je vois que vous avez quand même réussi à lire le texte et vous remercie pour votre réponse.

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

Bonjour Animateur Mathématique,

Salut,

Son nom (enfin, son pseudo) c'est gg0. Animateur Mathématique c'est juste une fonction sur le forum

[herrmattoon]

Bonjour,

J'ai trouvé la même probabilité de réussite après 100 tentatives. J'ai raisonné de la manière suivante:
Déjà... On considère des variables indépendante de probabilité qui suit une loi de Bernoulli. Pour faciliter le calcul, je pose p étant la probabilité d'échouer, et 1-p celle d'un succès.

On cherche la somme des probabilités de réussite après 1 essai, 2, 3,.., 100. La somme car n'importe quelle combinaison est une réussite selon le problème posé. On accepte une réussite au premier coup, comme à n'importe lequel avant d'atteindre la 101e tentative. La probabilité p₁ de réussite après 1 tentative est 1-p, celle de réussir après deux tentatives correspond à un premier échec puis une réussite, etc. L'expression générale de la probabilité de réussite après N tentative est :



La suite géométrique permet de rendre "calculable" cette expression:



On voit alors que la probabilité de réussir à chaque tentative successive croit à chacune d'entre elle... ...c'est pas une surprise!

Résultat non garanti, même si je pense être juste à 100*p%

[herrmattoon]

... Et j'ai oublié de simplifier l'expression pour faire disparaitre la parenthèse et le dénominateur!
Petit bonus avec une représentation graphique de la probabilité de réussite après N tentatives:

[herrmattoon]

Et en fait, en y réfléchissant bien, 1-p^N n'est autre que la probabilité que n'importe quelle issue de réalise après N tentatives (p=1),à laquelle on retire la probabilité de N échecs successifs.