Pgcd, ppcm et nombres premiers

[invitedd2267e2]

Bonjour,

J'ai retrouvé une feuille de mathématiques dans mon sac d'école aujourd'hui et je me suis mis dans la tête de commencer un exercice apparemment assez court et simple sur les pgcd, ppcm et nombres premiers pour voir si les vacances ne m'avaient pas fait tout oublier : et bien apparemment si!

Je vous détaille l'exo rapidement :

a et b sont des entiers naturels non nuls tels que PGCD(a+b;ab) = p où p est un nombre premier.
a) Démonter que p divise a²

Là déjà j'ai mis du temps à comprendre la méthode : p divise a+b et ab, donc p divise (a+b)-ab et a(a+b)-ab c'est-à-dire a².

b) En déduire que p divise a. On constatera donc également que p divise b.

J'ai utilisé une des conséquences du théorème de Gauss (un nombre premier qui divise un produit ab divise a ou b). p divise a² donc nécessairement a.

Et là c'est le drame...

Démontrer que PGCD (a,b)= p

Je cherche depuis une bonne heure,j'ai relu tous les chapitres du cours sur le pgcd, le ppcm, les nombres premiers, les congruences, tout! Mais je ne vois même pas comment démarrer! C'est sans-doute tout bête mais je n'y arrive pas!

Je ne demande pas la solution mais simplement un indice ou quelque chose qui puisse me mettre sur la voie car je rame intensément et je commence à me demander si je trouverai un jour!

Merci d'avance pour votre aide

Scoien
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[invité576543]

(...)

Bonsoir,

Qu'est ce que tu peux exprimer comme relation entre pgcd(a+b, ab) et le pgcd(a,b) en général, sans t'occuper du cas du problème dans un premier temps?

Cordialement,

[Gwyddon]

C'est moi ou la dernière question se faisait directement dès le début, sachant p premier ?

[invité576543]

Je pense ça aussi...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

Pour la dernière question : as-tu compris que p divisant a et b; le PGCD de a et b est de la forme p*m ?
Ecris alors que a = p*m*f et b = p*m*g
Que dis-tu du PGCD de a+b et a*b ?

[invitedd2267e2]

@mmy : Mais oui! pgcd(a,b) divise a et divise b, donc il divise a+b et a*b, donc c'est un diviseur commun aux deux nombres, donc il divise le pgcd(a+b,ab). Comme pgcd(a+b,ab) = p et que p divise a et b alors pgcd(a,b)=p, c'est ça? On avait même pas besoin de savoir que p était premier pour cette question alors?

@jeanpaul : là j'ai pas pigé! Si on suit ta démarche on aboutit à pgcd (ab, a+b) = p*m or c'est p!

[Gwyddon]

pgcd(a,b) divise a et divise b, donc il divise a+b et a*b, donc c'est un diviseur commun aux deux nombres, donc il divise le pgcd(a+b,ab). Comme pgcd(a+b,ab) = p et que p divise a et b alors pgcd(a,b)=p, c'est ça?

Ok.

On avait même pas besoin de savoir que p était premier pour cette question alors?

Et comment tu montres alors que p|a et p|b petit malin ?

[invitedd2267e2]

Désolé de reposter un message, mais j'ai voulu éditer et le délai était dépassé :

@Gwyddon : Comment faire cette question dès le départ? Car même en sachant p premier, on sait que pgcd (a,b) divise pgcd(a+b,a*b) donc divise p. Il y a donc 2 solutions possibles : p et 1, non?

[Gwyddon]

C'est vrai. Maintenant suppose que ce pgcd est 1. Tu vas alors aboutir à pgcd(a+b,a*b)|pgcd(a,b), donc pgcd(a+b,a*b)=1 qui n'est pas un nombre premier

[Jeanpaul]

Ben oui, ça montre que m vaut 1, c'est un raisonnement par l'absurde.

[invitedd2267e2]

C'est vrai. Maintenant suppose que ce pgcd est 1. Tu vas alors aboutir à pgcd(a+b,a*b)|pgcd(a,b), donc pgcd(a+b,a*b)=1 qui n'est pas un nombre premier

Ah ok, c'est pigé! Merci beaucoup en tout cas! Et merci à tout ceux qui ont pris la peine de répondre!

Ben oui, ça montre que m vaut 1, c'est un raisonnement par l'absurde.

Euh désolé de te faire perdre ton temps mais peux-tu poursuivre le raisonnement jusqu'au bout, car la j'ai peur de ne pas comprendre ce que tu avais l'intention de m'expliquer.
Toute cette partie...

"Pour la dernière question : as-tu compris que p divisant a et b; le PGCD de a et b est de la forme p*m ?
Ecris alors que a = p*m*f et b = p*m*g"

...est claire mais je ne comprends pas trop ce que tu voulais me faire trouver par ta dernière interrogation...

[Jeanpaul]

Le but est de montrer que le PGCD de a et b vaut p.
Tu as montré que p divise a et b, donc le PGCD de a et b est un multiple de p, soit p*m
a = p*m*f
b = p*m*g
Alors, tu montres facilement que a+b et a*b sont des multiples de p*m. Donc le PGCD de a+b et a*b est un multiple de p*m, mais tu sais que c'est p, donc c'est que m=1 et en revenant tout au début, tu dis que p est le PGCD de a et b.

[invitedd2267e2]

Ok tout devient très clair à présent! Je m'excuse pour ma lenteur de compréhension!

Merci