Exercice de maths avec produit ABCD

[jeremiah-theodorus]

Bonjour,
je bute sur un problème de mathématiques (en fait on est tous dans la classe à se casser la tête dessus) que notre prof nous a donnés, et j'ai vraiment du mal. Voici l'énoncé:
Soient A,B,C,D 4 rééls tels que
A=
B=
C=
D=


Calculez le produit ABCD

Voici ce que j'ai fait, ca me conduit à une impasse donc je suppose que c'est peut-être pas comme ca qu'il faut faire mais bon:
A²=
4-A²=
(4-A²)²=


Ensuite je fais de même avec B, et ca me donne la même équation:


Comme C et D sont définis de la même maniere que A et B ca nous mène à la même équation pour A,B,C,et D.
J'en déduis que A,B,C et D sont les solutions de cette équation (il peut y avoir 4 solutions puisque c'est une équation du 4ème degré).

Voilà et c'est maintenant que ca bloque: je ne sais pas comment résoudre cette équation Jme doute que c'est pas la peine de calculer A,B,C et D et qu'on peut peut-être calculer le produit directement mais je ne sais pas comment...
Autre chose: j'ai regardé le graphe de la fonction que j'ai trouvé et il y a 4 solutions, mais 2 sont négatives je crois, et une racine ne peut pas être négative
Donc jsuppose que j'ai fait une erreur quelque part ou que j'ai pas pris le problème par le bon bout, mais à ce moment là je vois pas comment résoudre, j'ai essayé plein de trucs et tous me conduisent à des impasses...
Voilà si vous pouviez m'aider...Je ne demande pas la réponse mais juste un indice (ou 2 )

Ah oui autre chose notre prof nous a dit qu'on pouvait résoudre ce problème avec des équations symétriques élémentaires, mais je ne sais pas trop ce que c'est, il nous a dit qu'on ne l'avait pas encore fait
J'espère ne pas tomber sur mon prof de maths
Merci d'avance

[shokin]

Juste pour commencer :

A et C sont définis d'une manière.

B et D sont définis d'une autre manière.



Ensuite, quand tu élèves au carré les deux parties d'une équation, il est possible que tu ajoutes des solutions (pas forcément vraies) à l'équation. [En fait, tu risques de passer à une équation qui a plus de solutions que l'équation initiale. ; C'est comme passer de a=1 à a^2 = 1 à peu près. ] Tu vas trouver plusieurs solutions, dont tu vas peut-être devoir en éliminer, après vérification.

Ensuite : Prenons une équation :

A=



Et si tu essaies de la résoudre, en élevant au carré (rajoutant des nouvelles mauvaises solutions) ?



Shokin

[jeremiah-theodorus]

Ensuite : Prenons une équation :

A=



Et si tu essaies de la résoudre, en élevant au carré (rajoutant des nouvelles mauvaises solutions) ?

Euh c'est ce que j'ai fait non? Est-ce que ce que j'ai fait est complètement faux?

[shokin]

Non, tu avais fait juste.

Seulement, je ne suis pas un habitué de ces équations.

En lisant "équations symétriques", j'ai cherché et trouvé peut-être :

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_quartique

Shokin

[Duke Alchemist]

Bonjour.

J'ai un doute pour l'énoncé. Ne serait-ce pas plutôt
Soient A,B,C,D 4 rééls tels que




Sinon rien ne différencie A de C et B de D...
Avec ma proposition, le produit ABCD donne alors (4²-5 =) 11 (ce résultat appuie un peu plus mon hypothèse )

Je ne pense pas qu'il faille résoudre indépendamment les équations, cela ne me semble pas l'esprit de l'exo.

Personnellement, j'opterais pour ce qu'a fait jeremiah-theodorus mais en modifiant la dernière ligne un chouïa :

je l'écrirais plutôt
soit
En effectuant la même chose avec B, C et D, et en effectuant le produit membre à membre, on doit (après qq lignes de développements et de factorisations ) trouver un résultat assez sympatique.

Duke.

P.S. : Je vais réessayer de mon côté, hein...

[Duke Alchemist]

Re-

J'ai réessayé rapidement. J'obtiens un truc du genre :
A⁴B⁴C⁴D⁴ + f(A,B,C,D) = (-11)⁴
avec f(A,B,C,D)=0 d'où ABCD...

Mais la grosse difficulté est de montrer que f(A,B,C,D)=0
ça "marche" mais je sèche pour la démo...

Ou alors il y a un moyen plus simple (et rigoureux) d'y parvenir ?

Désolé de ne pas être plus utile

Duke.

[jeremiah-theodorus]

Bonjour,

J'ai un doute pour l'énoncé. Ne serait-ce pas plutôt
Soient A,B,C,D 4 rééls tels que

Je ne crois pas avoir fait d'erreur dans mon énoncé vu que tout le monde a fait comme ca (ca me donne des doutes ca ), mais c'est vrai que c'est assez étrange...

Avec ma proposition, le produit ABCD donne alors (4²-5 =) 11

Effectivement une fille de ma classe a trouvé ce résultat (avec l'aide de son grand frère de 2ème année de MPSI ).
En fait d'après elle il faut faire quelque chose comme ca:
On met l'équation avec des X a la place des A et des B, et on écrit que puisque A,B,C,D sont les racines:
(X-A)(X-B)(X-C)(X-D)=0
Ensuite on développe et on trouve un polynôme avec comme terme constant ABCD, et par identification avec l'autre polynôme ABCD=11
Mais c'est assez vague, elle m'a expliqué ca très brièvement et je peux me tromper...

[shokin]

Comment avez-vous trouvé ce résultat ?

Est-il à rapprocher du fait que, si on cherche le domaine de définition de A, par exemple, l'on trouve [-11;0] ? (à moins que vous n'acceptiez les nombres complexes)

Shokin

[jeremiah-theodorus]

Bonjour,

Comment avez-vous trouvé ce résultat ?

Est-il à rapprocher du fait que, si on cherche le domaine de définition de A, par exemple, l'on trouve [-11;0] ? (à moins que vous n'acceptiez les nombres complexes)

Ben je ne sais pas encore, je vais y réfléchir ce week end, je répète juste à peu près ce que nous a dit la fille de ma classe...
Par contre je ne crois pas que ça ait un lien avec l'ensemble de définition ni avec les nombres complexes (on vient juste de commencer la terminale on les a pas encore faits ceux là ) mais on doit sûrement trouver un polynôme en développant l'expression que j'ai dite (i.e , puis procéder par identification avec le polynôme trouvé au début (son terme constant est 11, et le terme constant du 2nd polynôme trouvé est ABCD et c'est justement ce que l'on cherche donc on a la solution). Maintenant il faut que je vérifie...C'est un peu lourd de développer une expression pareille...