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Factorisation de a^n - b^n

  1. kNz

    Date d'inscription
    décembre 2005
    Messages
    2 507

    Factorisation de a^n - b^n

    Bonjour,

    Suite à un exo de shokin sur un autre post, j'essaie de démontrer une formule..

    (a - b)(a + b) = a² - b²
    (a - b)(a^2 + ab + b^2) = a3 - b3
    (a - b)(a^3 + a^2 * b + a * b^2 + b^3) = a4 - b4
    (a - b)(a^4 * b^0 + a^3 * b^1 + a^2 * b^2 + a^1 * b^3 + a^0 * b^4) = a5 - b5

    On peut conjecturer que an - bn =

    On le démontre par récurrence sur n.

    Fondation

    Pour n=1, (a-b)(a1-0b0 + a1-1b1) = (a-b)(a+b) = a²-b²

    La formule est donc vraie pour n=1.

    Hérédité

    On suppose que la formule est vraie pour un certain entier de rang n, on veut le démontrer pour n+1 :




    Petite parenthèse j'ai quelques questions sur les sommes, j'suis pas trop accoutumé avec :

    Pour n+1 on doit avoir ??

    Si je pose k' = k+1, ça me donne bien

    Si je me plante complètement dans la voie pour la démo, j'veux bien que vous me le disiez aussi j'essaie juste de m'entraîner ..

    Merci,

    A+


     


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  2. invité576543
    Invité

    Re : Factorisation de a^n - b^n

    Il y a plein de petites fautes. Relis en essayant un peu de rigueur!
     

  3. invité576543
    Invité

    Re : Factorisation de a^n - b^n

    On peut conjecturer que an+1 - bn+1 =

    On le démontre par récurrence sur n.

    Fondation

    Pour n=1, (a-b)(a1-0b0 + a1-1b1) = (a-b)(a+b) = a²-b²

    La formule est donc vraie pour n=1.

    (Mais on aurait pu partir de n=0, c'est plus simple)

    Hérédité

    On suppose que la formule est vraie pour un certain entier de rang n, on veut le démontrer pour n+1 :

    Petite parenthèse j'ai quelques questions sur les sommes, j'suis pas trop accoutumé avec :

    Pour n+1 on doit avoir ??

    oui

    Si je pose k' = k+1, ça me donne bien

    Non n-k' = n-k-1, et ce n'est pas ce que l'on veut, et pour l'exposant de b on ne peut pas remplacer k par k'
     

  4. kNz

    Date d'inscription
    décembre 2005
    Messages
    2 507

    Re : Factorisation de a^n - b^n

    Ah oui en effet y avait pas mal de petites fautes

    Dans un exo de ce genre, comment doit-on procéder méthodiquement ?

    Se dire qu'on part de :



    Et qu'on doit arriver à :



    ?

    Merci de ton inépuisable patience mmy
     

  5. Gwyddon

    Date d'inscription
    octobre 2004
    Localisation
    Karlsruhe (Allemagne)
    Âge
    29
    Messages
    18 716

    Re : Factorisation de a^n - b^n

    Salut kNz,

    Je ne sais pas si ma méthode est la meilleure, mais bon...

    Quand tu vois la tête de l'égalité, et sachant que tu dois la démontrer au rang n+1, tu choisis de partir du côté le plus simple (ie celui que te permet de te ramener le plus simplement au rang n).

    Ici manifestement si tu pars de l'expression factorisée, ce sera plus simple
    gg --> H --> gamma gamma => Nobel !
     


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  6. invité576543
    Invité

    Re : Factorisation de a^n - b^n

    Citation Envoyé par kNz Voir le message
    Pour n+1 on doit avoir ??

    Si je pose k' = k+1, ça me donne bien
    Bonjour,

    Le principe de ton approche ici est correct, partir de l'expression en n+1 et isoler dans cette expression celle de n. Tu ne l'appliques pas assez rigoureusement.

    Le point clé est de réaliser que les monômes ont tous le même degré total, n+1. Pour passer au cran inférieur, il faut descendre d'un degré. il n'y a guère qu'une méthode, diviser par a ou par b... Divisier par a, par exemple, est possible pour tous les monômes sauf un. Regardes la réécriture suivante...



    Cordialement,
     

  7. kNz

    Date d'inscription
    décembre 2005
    Messages
    2 507

    Re : Factorisation de a^n - b^n

    Salut Gwyddon et mmy,

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Salut kNz,

    Je ne sais pas si ma méthode est la meilleure, mais bon...

    Quand tu vois la tête de l'égalité, et sachant que tu dois la démontrer au rang n+1, tu choisis de partir du côté le plus simple (ie celui que te permet de te ramener le plus simplement au rang n).

    Ici manifestement si tu pars de l'expression factorisée, ce sera plus simple
    Pour toi, l'expression factorisée c'est
    ?

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    Bonjour,

    Le principe de ton approche ici est correct, partir de l'expression en n+1 et isoler dans cette expression celle de n. Tu ne l'appliques pas assez rigoureusement.

    Le point clé est de réaliser que les monômes ont tous le même degré total, n+1. Pour passer au cran inférieur, il faut descendre d'un degré. il n'y a guère qu'une méthode, diviser par a ou par b... Divisier par a, par exemple, est possible pour tous les monômes sauf un. Regardes la réécriture suivante...



    Cordialement,
    A lil' question :

    Je pensais que :

    =

    = (a-b) (an+1b0 + anb1 + ... + a1bn + a0bn+1)

    = (a-b) (anb0 + an-1b1 + ... + a1bn-1 + a0bn + a0bn+1)

    Enfin, y a un truc que j'arrive pas à comprendre, je vais essayer d'être clair :

    Soit la somme allant de k=0 à n+1, si j'écris cette expression d'une autre manière, ie somme allant de k=0 à n additioné au cas n+1, est que dans l'expression qui est sommée (ici an+1-kbk) j'ai le droit de remplacer le n+1 par n ?

    OK c'est complètement flou ce que j'écris ..

    Exemple concret :



    Ici ça marche, est-ce que j'ai le droit, quand je dissocie le cas n+1 de la somme, de remplacer n+1, qu'il soit à l'exposant, sous une racine, etcaetera, par n ?

    Merci beaucoup.
     

  8. invité576543
    Invité

    Re : Factorisation de a^n - b^n

    Bonsoir,

    Soit la somme allant de k=0 à n+1, si j'écris cette expression d'une autre manière, ie somme allant de k=0 à n additioné au cas n+1, est que dans l'expression qui est sommée (ici an+1-kbk) j'ai le droit de remplacer le n+1 par n ?
    Oui et non. Passer l'exposant de a de n+1 à n, ça veut dire diviser par a, non? Mais ce a ne doit pas disparaître! Comment faire?

    Le a passe en facteur, ça donne:



    La suite au prochain numéro, si tu ne finis pas tout seul!

    Cordialement,
     

  9. Gwyddon

    Date d'inscription
    octobre 2004
    Localisation
    Karlsruhe (Allemagne)
    Âge
    29
    Messages
    18 716

    Re : Factorisation de a^n - b^n

    Citation Envoyé par kNz Voir le message
    Salut Gwyddon et mmy,



    Pour toi, l'expression factorisée c'est
    ?
    .
    Oui c'est cela

    Je laisse la main à mmy de toute façon, j'ai cours demain donc je ne pourrai sûrement pas t'aider.
    gg --> H --> gamma gamma => Nobel !
     

  10. kNz

    Date d'inscription
    décembre 2005
    Messages
    2 507

    Re : Factorisation de a^n - b^n

    Bonsoir,

    Je suis prêt pour le prochain épisode

    J'ai essayé de factoriser par (a-b) la dernière expression et de me ramener au truc cherché, mais j'avoue ne pas y arriver, j'ai essayé la méthode bourrine en remplaçant la somme des an-kbk par an+1-bn+1 mais je n'y arrive pas non plus, bref ...

    Il est tard et j'ai cours demain aussi, je rechercherais ce week end,

    A+
     


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