Factorisation de a^n - b^n - Forum Mathématiques du collège et du lycée

**kNz** · 13/09/2006, 18h02

Bonjour,

Suite à un exo de shokin sur un autre post, j'essaie de démontrer une formule..

(a - b)(a + b) = a² - b²
(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a³ - b³
(a - b)(a^3 + a^2 * b + a * b^2 + b^3) = a⁴ - b⁴
(a - b)(a^4 * b^0 + a^3 * b^1 + a^2 * b^2 + a^1 * b^3 + a^0 * b^4) = a⁵ - b⁵

On peut conjecturer que aⁿ - bⁿ = $(a-b) \displaystyle\sum_{k=0}^n a^{n-k}b^k$

On le démontre par récurrence sur n.

Fondation

Pour n=1, (a-b)(a^1-0b⁰ + a^1-1b¹) = (a-b)(a+b) = a²-b²

La formule est donc vraie pour n=1.

Hérédité

On suppose que la formule est vraie pour un certain entier de rang n, on veut le démontrer pour n+1 :

Petite parenthèse j'ai quelques questions sur les sommes, j'suis pas trop accoutumé avec :

Pour n+1 on doit avoir $(a-b) \displaystyle\sum_{k=0}^{n+1} a^{n+1-k}b^k$ ??

Si je pose k' = k+1, ça me donne bien $(a-b) \displaystyle\sum_{k'=1}^{n+2} a^{n-k'}b^{k'}$

Si je me plante complètement dans la voie pour la démo, j'veux bien que vous me le disiez aussi

j'essaie juste de m'entraîner ..

Merci,

A+

Michel (mmy) · 13/09/2006, 18h14

Il y a plein de petites fautes. Relis en essayant un peu de rigueur!

Michel (mmy) · 13/09/2006, 18h20

On peut conjecturer que aⁿ⁺¹ - bⁿ⁺¹ = $(a-b) \displaystyle\sum_{k=0}^n a^{n-k}\,b^k$

On le démontre par récurrence sur n.

Fondation

Pour n=1, (a-b)(a^1-0b⁰ + a^1-1b¹) = (a-b)(a+b) = a²-b²

La formule est donc vraie pour n=1.

(Mais on aurait pu partir de n=0, c'est plus simple)

Hérédité

On suppose que la formule est vraie pour un certain entier de rang n, on veut le démontrer pour n+1 :

Petite parenthèse j'ai quelques questions sur les sommes, j'suis pas trop accoutumé avec :

Pour n+1 on doit avoir $(a-b) \displaystyle\sum_{k=0}^{n+1} a^{n+1-k}b^k$ ??

oui

Si je pose k' = k+1, ça me donne bien $(a-b) \displaystyle\sum_{k'=1}^{n+2} a^{n-k'}b^{k'}$

Non n-k' = n-k-1, et ce n'est pas ce que l'on veut, et pour l'exposant de b on ne peut pas remplacer k par k'

**kNz** · 13/09/2006, 21h52

Ah oui en effet y avait pas mal de petites fautes

Dans un exo de ce genre, comment doit-on procéder méthodiquement ?

Se dire qu'on part de :

$(a-b)(\displaystyle\sum_{k=0}^{n+ 1} a^{n+1-k}b^k)$

Et qu'on doit arriver à :

$(a-b)(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} a^{n-k}b^k + a^{n+1-k}b^k)$

?

Merci de ton inépuisable patience mmy

Gwyddon · 13/09/2006, 22h43

Salut kNz,

Je ne sais pas si ma méthode est la meilleure, mais bon...

Quand tu vois la tête de l'égalité, et sachant que tu dois la démontrer au rang n+1, tu choisis de partir du côté le plus simple (ie celui que te permet de te ramener le plus simplement au rang n).

Ici manifestement si tu pars de l'expression factorisée, ce sera plus simple

Michel (mmy) · 14/09/2006, 06h24

Citation:

Envoyé par kNz

Pour n+1 on doit avoir $(a-b) \displaystyle\sum_{k=0}^{n+1} a^{n+1-k}b^k$ ??

Si je pose k' = k+1, ça me donne bien $(a-b) \displaystyle\sum_{k'=1}^{n+2} a^{n-k'}b^{k'}$

Bonjour,

Le principe de ton approche ici est correct, partir de l'expression en n+1 et isoler dans cette expression celle de n. Tu ne l'appliques pas assez rigoureusement.

Le point clé est de réaliser que les monômes $a^{n+1-k}\,b^k$ ont tous le même degré total, n+1. Pour passer au cran inférieur, il faut descendre d'un degré. il n'y a guère qu'une méthode, diviser par a ou par b... Divisier par a, par exemple, est possible pour tous les monômes sauf un. Regardes la réécriture suivante...

$(a-b) \displaystyle\sum_{k=0}^{n} a^{n-k}\,b^{k} + (a-b)\, b^{n+1}$

Cordialement,

**kNz** · 14/09/2006, 19h32

Salut Gwyddon et mmy,

Citation:

Envoyé par Gwyddon

Salut kNz,

Je ne sais pas si ma méthode est la meilleure, mais bon...

Quand tu vois la tête de l'égalité, et sachant que tu dois la démontrer au rang n+1, tu choisis de partir du côté le plus simple (ie celui que te permet de te ramener le plus simplement au rang n).

Ici manifestement si tu pars de l'expression factorisée, ce sera plus simple

Pour toi, l'expression factorisée c'est
$(a-b)(\displaystyle\sum_{k=0}^{n+ 1} a^{n+1-k}b^k)$ ?

Citation:

Envoyé par mmy

Bonjour,

Le principe de ton approche ici est correct, partir de l'expression en n+1 et isoler dans cette expression celle de n. Tu ne l'appliques pas assez rigoureusement.

Le point clé est de réaliser que les monômes $a^{n+1-k}\,b^k$ ont tous le même degré total, n+1. Pour passer au cran inférieur, il faut descendre d'un degré. il n'y a guère qu'une méthode, diviser par a ou par b... Divisier par a, par exemple, est possible pour tous les monômes sauf un. Regardes la réécriture suivante...

$(a-b) \displaystyle\sum_{k=0}^{n} a^{n-k}\,b^{k} + (a-b)\, b^{n+1}$

Cordialement,

A lil' question :

Je pensais que :

$(a-b)(\displaystyle\sum_{k=0}^{n+ 1} a^{n+1-k}b^k)$ = $(a-b) \displaystyle\sum_{k=0}^{n} a^{n\Large{+1}-k}\,b^{k} + (a-b)\, b^{n+1}$

$(a-b)(\displaystyle\sum_{k=0}^{n+ 1} a^{n+1-k}b^k)$ = (a-b) (aⁿ⁺¹b⁰ + aⁿb¹ + ... + a¹bⁿ + a⁰bⁿ⁺¹)

$(a-b) \displaystyle\sum_{k=0}^{n} a^{n-k}\,b^{k} + (a-b)\, b^{n+1}$ = (a-b) (aⁿb⁰ + a^n-1b¹ + ... + a¹b^n-1 + a⁰bⁿ + a⁰bⁿ⁺¹)

Enfin, y a un truc que j'arrive pas à comprendre, je vais essayer d'être clair :

Soit la somme allant de k=0 à n+1, si j'écris cette expression d'une autre manière, ie somme allant de k=0 à n additioné au cas n+1, est que dans l'expression qui est sommée (ici a^n+1-kb^k) j'ai le droit de remplacer le n+1 par n ?

OK c'est complètement flou ce que j'écris ..

Exemple concret :

$\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1} (n+1) = (\displaystyle\sum_{k=0}^{n} n) + (n+1)$

Ici ça marche, est-ce que j'ai le droit, quand je dissocie le cas n+1 de la somme, de remplacer n+1, qu'il soit à l'exposant, sous une racine, etcaetera, par n ?

Merci beaucoup.

Michel (mmy) · 14/09/2006, 20h30

Bonsoir,

Citation:

Soit la somme allant de k=0 à n+1, si j'écris cette expression d'une autre manière, ie somme allant de k=0 à n additioné au cas n+1, est que dans l'expression qui est sommée (ici a^n+1-kb^k) j'ai le droit de remplacer le n+1 par n ?

Oui et non. Passer l'exposant de a de n+1 à n, ça veut dire diviser par a, non? Mais ce a ne doit pas disparaître! Comment faire?

Le a passe en facteur, ça donne:

$a\,(a-b)\,\sum_{k=0}^{n} a^{n-k}\,b^{k} + (a-b)\, b^{n+1}$

La suite au prochain numéro, si tu ne finis pas tout seul!

Cordialement,

Gwyddon · 15/09/2006, 00h06

Citation:

Envoyé par kNz

Salut Gwyddon et mmy,

Pour toi, l'expression factorisée c'est
$(a-b)(\displaystyle\sum_{k=0}^{n+ 1} a^{n+1-k}b^k)$ ?

.

Oui c'est cela

Je laisse la main à mmy de toute façon, j'ai cours demain donc je ne pourrai sûrement pas t'aider.

**kNz** · 15/09/2006, 22h55

Bonsoir,

Je suis prêt pour le prochain épisode

J'ai essayé de factoriser par (a-b) la dernière expression et de me ramener au truc cherché, mais j'avoue ne pas y arriver, j'ai essayé la méthode bourrine en remplaçant la somme des a^n-kb^k par aⁿ⁺¹-bⁿ⁺¹ mais je n'y arrive pas non plus, bref ...

Il est tard et j'ai cours demain aussi, je rechercherais ce week end,

A+

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