[T°S] Limite d'une fonction non continue...

[invite0ac24513]

Salut !

J'ai juste un petit problème... Je dois trouver la limite en 2 de la fonction :
f(x)= (V(3x+3)-3) / (2-x)

Simple à priori, mais la difficulté vient qu'en x=2, f(x) vadurait 0/0... Donc je n'ia aucune idée de comment trouver cette limite...

Merci d'avance !
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[sai]

Ok, mais c'est quoi V??? c'est la racine carrée ou une autre fonction?

[invite72085404]

Salut.
Si ta fonction donne 0/0 en 2, c'est que c'est une racine a priori (ca se note sqrt et pas V normalement...).

Soit f(x) = (sqrt(3x+3)-3)/(2-x). Le truc est de multiplier par le conjugué de sqrt(3x+3)-3 en haut et en bas pour avoir une simplification, et lever l'indétermination :
On a donc f(x) = (sqrt(3x+3)-3)(sqrt(3x+3)+3)/(2-x)(sqrt(3x+3)+3)
Puis f(x) = ((3x+3)-3^2)/(2-x)(sqrt(3x+3)+3)
= 3(x-2)/(2-x)(sqrt(3x+3)+)3
Comme tu voies, on peut maintenant simplifier par (x-2)
f(x) = -3/sqrt(3x+3)+3
Donc en x=2, f(2) = -1/2

J'espere que c'est assez compréhensible

[Gwyddon]

Hop, une petite réécriture en latex de l'idée de Untitled (très bonne d'ailleurs) :

Le but de l'exercice est d'étudier

Untitled propose la méthode classique dans ce genre de cas : multiplier numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée de la racine :



Donc ayant , en développant et en simplifiant, on a



Or 3x-6 = 3(x-2) et donc on peut encore simplifier par (x-2) pour x différent de 2, ce qui donne au final



Et la limite de cette dernière expression quand x tend vers 2 est alors très simple à déterminer, ce qui donne bien l'expression donnée par Untitled.

Nota Bene : attention Untitled à l'expression f(2)... En effet f n'est pas a priori définie en 2, donc lorsque tu écris c'est a priori pour x différent de 2. Ce n'est qu'après avoir déterminé la limite que tu prolonges f en 2 (et par la même occasion f étant continue en tout x différent de 2, tu as alors effectué un prolongement par continuité de la fonction f en 2).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0ac24513]

Et bie nécoutez, que vous le croyez ou non, c'ets très clair !

Merci beaucoup !

[inviteca5d884e]

Je suis dans la mm classe que Quentin et vous remercie pour l'explication, par contre Gwyddon, le dénominateur "étudié" est 2-x et non x-2.

[Gwyddon]

Je suis dans la mm classe que Quentin et vous remercie pour l'explication, par contre Gwyddon, le dénominateur "étudié" est 2-x et non x-2.

Effectivement désolé

Ceci dit, ça ne change strictement rien au raisonnement.