[Rapide] triangle équi et complexe

[fredo490]

Soient A(a), B(b), C(c) trois points du plan complexe; montrer que le triangle ABC est équilatéral direct si et seulement si :

a + jb + j²c = 0 où j = exp(i 2/3 pi)

je sais que ça doit être con comme tout mais je vois pas le truc !
Graphiquement je vois la chose (= rotation) mais comment "démontrer" ça de façon calculatoire ?!
Une piste pour moi ?

Merci d'avance
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[lou_ibmix_xi]

Salut,

Une rotation dans le plan complexe revient à une multiplication par un nombre complexe, cela devrait t'aider.

[fredo490]

Salut,

Une rotation dans le plan complexe revient à une multiplication par un nombre complexe, cela devrait t'aider.

Ben c'est pour ça que c'est multiplié par j ! Qui est complexe (sous la forme exponentielle).
Quand je dis que je vois le truc, c'est que je vois se que réalise la formule ! Mais il me faut un truc "calculatoire"

[Jeanpaul]

Prends le triangle équilatéral (1 , j, j²) et demande-toi comment on peut passer de ce triangle au triangle ABC dans le déformer ?
Comment trouver cette transformation ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[fredo490]

Et en mots plus simple ça donne ?!
Comme dit mon prof "on sort de terminul" ...

Je présume qu'il y a une erreur de frappe dans ta réponse "dans" = "sans" ...
Tu parle d'une similitude (rotation + homothétie de même centre + translation) ?! Mais bon ça me fait déjà peur rien qu'à y penser :$

Si c'est ça, merci de me répondre "tot" pour que j'y passe pas toute la nuit lol
Je voudrais bien une "confirmation" de mes idées à tendance masochiste ...

[invite2eaa2470]

ABC est equilatéral direct si AB et AC ont même longueur (traduction sur les complexes?).
Et si l'angle BAC vaut pi/3 donc traduit ca sur le complexe (c-a)/(b-a) et finit le calcul (une multiplication de l'équation obtenue par aide bien )

[Jeanpaul]

Je présume qu'il y a une erreur de frappe dans ta réponse "dans" = "sans" ...
Tu parle d'une similitude (rotation + homothétie de même centre + translation) ?! Mais bon ça me fait déjà peur rien qu'à y penser :$

N'exagérons rien ! Si on prend le complexe Z, il représente un vecteur OM. Si on multiplie par le complex u, le produit Z u est représenté par le vecteur ON dont la longueur est celle de OM multipliée par le module de u et qui a tourné de l'argument de u. Pas trop dur, quand même.
Pour une translation de vecteur correpondant à v, le complexe, c'est Z + v.

Quand on combine, on voit donc que l'on part des 3 complexes (1, j, j²) et qu'on arrive aux 3 complexes (a, b, c) et qu'on a donc :
a = 1.u + v
b = j. u + v
c = j².u + v
après avoir fait la similitude décrite par u puis la translation décrite par v (qu'on ne connaît pas)
Ensuite, tu y vas tout seul..;