probleme suites HEC

[invite83717259]

bonjour,

x désigne un réel de ]0,pi/2[
la suite (un) définie par u0= cosx et pour tout n appartenant aux entiers : u(n+1)=(un)*cos(x/2^n+1)

a) montrer que la suite: vn= un*sin(x/2^n) est géométrique.

b) en déduire pour tout entier naturel n, l'expression de (un) en fonction de x et n

c) montrer que (un) est convergente et donner sa limite

je calcule v(n+1) pour la 1ère question mais je n'arrive pas à trouver en fonction de (vn) pour montrer qu'elle est géométrique, c'est peut être tout bete mais je bloque.
merci de votre aide
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[invite4b9cdbca]

Tu as V(n+1) = U(n)*cos(x/(2^(n+1)))*sin(x/(2^(n+1)))
Et tu utilises la formule : sin(2a) = 2*sin(a)*cos(a)
Et tu introduis V(n) dans ton expression.
Moi j'ai trouvé une raison de 1/2 pour la suite (Vn)

Voila voila, j'espère avoir aidé.

[Gwyddon]

Salut,

Pour la 1, je suppose que ? Parce que c'est un peu ambigü ton énoncé.

Si c'est le cas, il te suffit de te rappeler que sin(2x) = 2 sin(x)cos(x)

(Un conseil : fais le rapport V_n+1/V_n, en vérifiant pour quelle(s) valeur(s) de x tu peux, ce sera plus simple).

EDIT : téléscopage, en tout cas je suis d'accord avec kron

[invite83717259]

merci pour ta réponse,
et pour la c) pour montrer qu'elle est convergente on montre qu'elle est croissante et majorée (ou le contraire), je ne pense pas avoir de problème pour montrer la monotonie mais pour montré qu'elle est majorée tu peux me donner une indication ?
merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4b9cdbca]

Qu'as tu trouvé pour la b ?
ça te permettra peut-être de passer directement aux limites...

[invite83717259]

bonjour,
en fait j'ai des difficultés pour la b), ils me demandent de déduire de la a) (v(n+1)=vn*1/2) j'ai essayé de partir de cela pour arrivé à une expression de (un) uniquement avec x et n mais je retombe toujours sur un=un ce qui ne donne pas la réponse, peut être faut-il utiliser des formules de trigo ?
merci de votre aide

[Gwyddon]

Connais-tu la forme générale d'une suite géométrique ? Aller, je te la donne je suis gentil (mais c'est du cours !) : si la suite x_n est géométrique de raison a, alors x_n=x₀ aⁿ

Avec ça appliqué à v_n, il n'y a aucune difficulté pour remonter à u_n

[invite83717259]

Merci,
j'ai pu trouvé la convergence et la limite.
Dans la suite du problème ils donnent un programme informatique, les premières questions sont faisables mais ensuite je comprends plus très bien, voilà le prog:

program suites;
var a,x,b: real;
k,n : integer;
begin
readln(x);
readln(n);
a := 1;
b := 1/cos(x);
for k:= 1 to n do
begin
a:=(a+b)/2;
b:= sqrt(a*b);
end;
writeln(a,b);
end.

questions:
c) montrer que pour une valeur de x que ce programme permet le calcul des (n+1) premiers termes de deux suites (an) et (bn), préciser a0 et b0 et montrer que b1 = cos(x/2)/cos(x)

j'ai remarqué la boucle mais je vois pas pour on parle de x pour la suite (an), je n'arrive pas a comprendre la suite (an) c'est bien (a+b)/2 parce que je m'embrouille avec les a et b

d) ils me demandent ensuite les relations de récurrences liant (an), (bn), (a(n-1)) et (b(n-1))

merci pour votre aide

[invite4b9cdbca]

Ta boucle permet effectivement de calculer n termes des suites an et bn définies par :
a(n+1) = (a(n) + b(n))/2
b(n+1) = sqrt(a(n)*b(n))
Si tu regardes, le programme fait juste n fois l calcul en remplaçant a(n) par a(n+1) idem pour b(n)
Donc tu obtiens :
k=1 --> a(1) = (a(0)+b(0))/2
.
.
.
k=n --> a(n) = (a(n-1)+b(n-1))/2

Donc tu as les termes a(1)....a(n)
Et tu connais a(0)
Donc tu as bien les n+1 premiers termes

Tu peux facilement calculer a(1) et b(1) avec les relations que j'ai données.

Quant à x c'est juse un paramètre qui permet de faire varier la valeur de b(0). Dans la boucle, il faut remarquer que x reste invariant.

PS : c'est un algorithme sur quel logiciel de calcul ? C'est pas du Maple...

[invite83717259]

merci, en fait c'est du Pascal,

donc a0=1 et b0=1, j'arrive a faire les questions sauf que je bloque depuis 1 heure sur montrer que b1 = (cos (x/2)) / (cos(x)), je fais comme tu m'as dit b1 = sqrt ( a0*b0), je mets au carré et je calcule (cos (x/2))/ (cos x)) aussi au carré afin d'arriver a une chose commune et dire que c'est égal mais je ne trouve pas si tu pouvais m'aider, c'est bête je pense mais bon..
merci encore