f injective ssi Kerf={e} : comment se l'imaginer ?

[justine&coria]

Bonjour à tous,

Si f est un morphisme de groupe (ou un morphisme d'espaces vectoriels), on sait que :

f est injective si et seulement si Kerf={e}

où e est le neutre du groupe de départ. (ou 0_E pour un espace vectoriel).

J'essaie de m'imaginer le pourquoi de la chose, mais à chaque fois que je pense y arriver, je bute.
J'ai compris la démonstration, mais j'ai envie de le comprendre "avec les mains".

Si quelqu'un pouvait m'aider à voir plus clair, j'en serai ravi.
Cordialement.

[indian58]

Tu peux essayer de voir de la manière suivante: f étant un morphisme, son comportement est "le même" en chaque point. Donc pour l'injectivité, tu regardes le noyau

[zinia]

Bonjour,

Une autre façon de voir, c'est de se dire que si Ker(f) contient plus d'un élement, la fonction ne peut pas être injective (il existe deux éléments dont l'image est 0).
Et comme c'est un morphisme f(0)=0 et 0 est toujours dans Ker(f)
La réciproque découle du fait que c'est un morphisme et que ce qui se passe pour 0 se transmet aux autres éléments comme l'a dit indian58

[justine&coria]

Tu peux essayer de voir de la manière suivante: f étant un morphisme, son comportement est "le même" en chaque point. Donc pour l'injectivité, tu regardes le noyau

Oui oui, c'est ce que je me suis dit, mais justement j'arrive pas à voir pourquoi le comportement de f est "le même" en chaque point.
Je pense qu'il faut partir du fait que f transforme des sous-groupes de G en sous-groupes de G', mais j'arrive pas à terminer.

[martini_bird]

Salut,

le noyau c'est l'ensemble des éléments dont l'image par f est nulle.

Si l'application n'est pas injective, alors on peut avoir f(x)=f(y) sans que x=y. Mais alors y-x est non nul et pourtant l'image de y-x est nulle (f(y-x)=f(y)-f(x)=0)... y-x est donc dans le noyau et par conséquent le noyau n'est pas réduit à 0...

Cordialement.

PS : je suis pas sûr d'avoir été clair sur ce coup...

[doryphore]

En fait pour une application d'un groupe dans un autre tu peux souvent avoir que l'image réciproque de l'élément e' soit réduit à e sans pour autant que f soit injective mais dans le cas d'un morphisme de groupe "f(a+b)=f(a)+f(b)" les contraintes structurelles sont telles que la démonstration de Martini est alors possible et on ne peut pas avoir une application non injective avec un noyau réduit à {e} ni un noyau réduit à {e} sans que l'application (ne) soit injective...
Difficile d'être clair en effet.