pgcd et euclide

[La-dodo]

bonjour a tous!
j'ai un souci concernant la résolution de cette équation!
je voudrais que l'on m'explique comment résoudre étape par étape (devoir undi oblige ) la résolution de ceci:
149x+20y=12
et celui la aussi: 150x+20y=12

j'ai entendu dire que l'on ne pouvait pas résoudre la première équation car 12 est pair et que la somme de 149+20 est impaire mais en fin de compte je n'en suis pas très certains

merci de votre aide
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[La-dodo]

oula! désolé pour les fautes d'hortographes! je viens de me relire et il y en a beaucoup... j'ai du avoir une rude journée! lol

[invite8a9c4639]

Bonjour,

Il faudrait préciser dans quel ensemble on recherche des solutions. Est ce x, y dans Z ou x, y dans N ?

D'autre part le raisonnement sur la parité me parait douteux, car si x est pair, 149 x + 20 y est aussi pair...

[invite6de5f0ac]

Bonjour,

Vu le titre du fil, je suppose qu'on cherche des solutions dans Z.

Pour la première équation, pgcd(149,20) = 1, donc routes les valeurs au second membre peuvent être atteintes. Voir le théorème de Bezout.

Pour la seconde, pgcd(150,20) = 10, donc seuls les multiples de 10 peuvent être atteints. Donc 12 ne peut pas. Plus simplement, 150x + 20y sera toujours multiple de 10 (ce qui est évident), ce qui n'est pas le cas de 12, donc il n'y a pas de solution (dans Z tout au moins).

-- françois

[A voir en vidéo sur Futura]

[La-dodo]

en fait je suis rendu a apprendre ca en ce moment.
et j'avoue ne pas avoir très bien suivi cette partie du cours!
alors le but est de retrouver toutes les solutions dans Z de x et de y.
il me semble que l'on doit commencer par trouver le pgcd de 149 et 20... pour ensuite trouver une solution particulière de l'équation et enfin trouver toutes les solutions de l'equation mais la je bloque a partir de la seconde partie.. help!

[La-dodo]

Bonjour,

Vu le titre du fil, je suppose qu'on cherche des solutions dans Z.

Pour la première équation, pgcd(149,20) = 1, donc routes les valeurs au second membre peuvent être atteintes. Voir le théorème de Bezout.

Pour la seconde, pgcd(150,20) = 10, donc seuls les multiples de 10 peuvent être atteints. Donc 12 ne peut pas. Plus simplement, 150x + 20y sera toujours multiple de 10 (ce qui est évident), ce qui n'est pas le cas de 12, donc il n'y a pas de solution (dans Z tout au moins).

-- françois

merci fderwelt j'ai compris cela déja grace a toi! ainsi les solutions de cette équations ne peuvent donc etre que des multiples du pgcd! si ce n'est que ca cet exercice me parait plus simple que ce que je croyais!
merci d'avoir éclairé ma lanterne!

[invite8a9c4639]

Fderwelt a bien montré qu'il n'a a pas de solution pour la deuxième : 150x + 20y = 12 (150x + 20y multiple de 10)

Il faut expliciter l'algorithme pour trouver les solutions de la première.

Le pgcd(149,20) étant 1, il existe un algorithme pour calculer une solution de 149x + 20y = 1.

A tu vu cet algorithme en cours ?

[La-dodo]

merci fderwelt j'ai compris cela déja grace a toi! ainsi les solutions de cette équations ne peuvent donc etre que des multiples du pgcd! si ce n'est que ca cet exercice me parait plus simple que ce que je croyais!
merci d'avoir éclairé ma lanterne!

mais maintenant si l'on change de Z et que l'on passe a Q? soit toutes les solutions possibles!


armor92: oui j'ai vu cet algorithme en cours et je sais le faire! je m'y suis exercé plusieurs fois

[La-dodo]

merci de votre aide! je suis capable de résoudre cet exercice maintenant que j'ai compris l'astuce grace a vous!

merci futura