Pi en théorie des nombres

[nimzo]

Il est normal de retrouver PI en géométrie euclidienne, mais comment expliquer la présence répétée de PI en théorie des nombres. En TDN les cercles ne font pas partie de la théorie.

Par exemple PI se pointe le nez ici :

http://googolplex.net/temp/euler.gif

Quelqu'un a une idée là dessus ou une référence que je pourrais lire sur le sujet ?

Merci

nimzo

[danyvio]

est présent partout, même où on ne l'attend pas ! Je te recommande l'excellent livre de Jean Paul Delahaye "Fascinant Nombre ".

[doryphore]

Intéresse toi aussi à l'expérience des aiguilles de Buffon, je suspecte que le lien entre les deux est caché dans cette expérience même si personnellement je n'ai jamais réussi à le mettre en évidence.

[Ksilver]

Salut !

pour ma part, Pi n'est pas fondamentallement une constante de la géometrie.

je pense que la propriété la plus fondamental pour Pi c'est que 2iPi est la periode de l'exponentielle complexe, ou plutot (les deux propriété sont tres lié) que quand on calcule des integrales complexe (sur une courbes fermé) le lien entre les residus et la valeur de l'integral c'est "2iPi". bref que fondamental Pi est une constante de l'analyse, plus precisement de l'analyse complexe.

apres comme quelque résultat en théorie des nombre s'etudit via l'analyse complexe (théorème des nombres premier etc...) il n'est pas si etonant de voire Pi apparaitre dans cette théorie apres tous.


(dans le meme genre, il y aussi la probabilité que deux nombre pris au hasard soit premier entre eux qui vaut 6/Pi² )


apres, ceci est une interpretation personelle, on peut en donner d'autre ^^

[Coincoin]

Salut,

je pense que la propriété la plus fondamental pour Pi c'est que 2iPi est la periode de l'exponentielle complexe

C'est la définition bourbakiste de pi, non ?

[invite986312212]

Il est normal de retrouver PI en géométrie euclidienne, mais comment expliquer la présence répétée de PI en théorie des nombres.

peut-être tout simplement parce qu'il y a des liens nombreux et profonds entre géométrie et théorie des nombres. Puisque tu cites Euclide, son traité est vu comme un traité de géométrie, mais on y trouve plusieurs livres sur les nombres (les "proportions") et notamment l'étude des nombres premiers.

[invite986312212]

En TDN les cercles ne font pas partie de la théorie.

il existe pourtant un problème fameux qui consiste à évaluer le cardinal de l'intersection entre un lattice (j'ai oublié le mot français, réseau?) et un disque de rayon R, quand R tend vers l'infini.

http://mathworld.wolfram.com/GausssCircleProblem.html

[edpiste]

digression : vous connaissez des problèmes (pas standards) où pi intervient de manière inattendue ?

[jul059]

Il est normal de retrouver PI en géométrie euclidienne, mais comment expliquer la présence répétée de PI en théorie des nombres. En TDN les cercles ne font pas partie de la théorie.

Par exemple PI se pointe le nez ici :

http://googolplex.net/temp/euler.gif

Quelqu'un a une idée là dessus ou une référence que je pourrais lire sur le sujet ?

Merci

nimzo

ouain, c'est étrange. C'est certain que l'on peut "expliquer" plein de choses par des théorèmes et des preuves (comme le lien que tu propose, je l'ai regarder rapidement, mais je suis presque sûr que l'ont peut prouver cette égalité par une simple série de taylor), mais connaître et comprendre la signification profonde de tout ceci, c'est une autre histoire. En fait, je crois profondément que c'est impossible. Pas extrêmement difficile ou improbable, impossible. mais bon, tout ça ça tient plus de la philosophie que des mathématiques.

En tout cas, un autre site intéressant, mathworld (il y a aussi beaucoup de références intéressantes)

http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html
http://mathworld.wolfram.com/Pi.html

[invite75213404]

Ce qui me fascine avec Pi c'est aussi cette relation admirable : e^(PI*i)+1=0
La géométrie et l'arithmétique sont reliées...