Fermeture d'un SEV en dim finie ?

[Gpadide]

Bonjour, j'ai lu qq part qu'un sous espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension finie etait fermé ... Si c'est vrai comment le montrer ?? Je n'y arrive pas avec la caractérisation sequentielle...
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[invite4ef352d8]

Salut !


L'idéal et de montrer qu'il est complet. pour cela on prend une base de l'espace et on utilise un isomorphisme pour ce ramener a R^n.

[Gpadide]

Peux tu détailler s'il te plait car cela ne me parait pas du tout immédiat... Je sais pas comment montrer que si R^n est complet, alors l'image par toute suite de cauchy convergente est encore une suite de cauchy convergente....

[invite4ef352d8]

Hum dans ce cas ca va etre un peu plus compliqué j'en ai peur !


que sait tu exactement de la topologie en dimension finie ? (equivalence des normes, continuité des application linéaire, distance a un sous-espace de dimension finit etc... ? )

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gpadide]

Je connais le cours de MP sur les Evn quoi... donc tout ce que tu as évoqué a la fin a priori...mais je ne sais pas qu'un complet est forcément un fermé, ni que l'isomorphisme conserve la complétude.

[invite35452583]

Je connais le cours de MP sur les Evn quoi... donc tout ce que tu as évoqué a la fin a priori...mais je ne sais pas qu'un complet est forcément un fermé, ni que l'isomorphisme conserve la complétude.

Complet pour la métrique induite =>fermé : suite convergente dans F (le gros espace) d'éléments de E( le petit espace)=>c'est une suite de Cauchy de E=>converge dans E
isomorphisme conserve la complétude, en général??
Ksilver a quand même raison car tout iso entre ev peut être considéré comme une isométrie (car toutes les normes sont topologiquement équivalentes, on prend la métrique induite et c'est fini ).

Sinon, une autre manière de montrer la fermeture tout sev est intersection de l'image réciproque du fermé {0} danas R de (dim(F)-dim(E)) formes linéaires.

[invite4ef352d8]

"ni que l'isomorphisme conserve la complétude."


en géneral un isomorphisme na aucune raison de conservé la completude !

mais dans ce cas la on construit en fait une ismetrie en utilisant la bonne norme !


le fait qu'un sous espace de dimension finit est complet et fermé est au programes de Mp normalement... donc il va falloir une réponse plus precise.

tu sais qu'un sous espace de dimension finie est complet ?


sinon, tous les complet sont fermé : c'est une des propriétes de bases des complets, normalement elle devrait etre dans ton cours :S sinon pour le montrer il suffit de prendre une suite de point de l'ensemble qui converge vers un point de l'adherence, alors elle est de cauchy et donc elle converge dans l'ensemble, donc celui ci est fermé

[Gpadide]

Sinon, une autre manière de montrer la fermeture tout sev est intersection de l'image réciproque du fermé {0} danas R de (dim(F)-dim(E)) formes linéaires.

Tres bien cela me convient parfaitement .

Par contre vous semblez tous me dire qu'une suite qui est de cauchy converge dans l'ensemble mais je ne comprends pas pourquoi. Désolé de toutes ces questions mais le cours de ma prof n'est pas tres complet (c'est le cas de le dire !)

[invite4ef352d8]

Salut.

soit F une parti complete de E.

soit xn une suite de F qui converge dans E.

xn est convergente, donc xn est de cauchy.
F est complet, donc les suites de cauchy dans F converge dans F : c'est la definition d'une partie complete, la suite doit convergait au sens de la topologie de F donc la limite doit neccessairement être dans F.



Plus profondement, la completude est enfait une proriété tres liée a la fermeture. en fait la completude, c'est la fermeture, mais vu "de l'interieur".

[invite4ef352d8]

Tres bien cela me convient parfaitement .

Par contre vous semblez tous me dire qu'une suite qui est de cauchy converge dans l'ensemble mais je ne comprends pas pourquoi. Désolé de toutes ces questions mais le cours de ma prof n'est pas tres complet (c'est le cas de le dire !)

mais attention : cela montre la fermeture d'une sous EV de dimension finit dans un espace de dimension finit : pas le cas plus géneral d'un sous espace de dimension finit d'un espace vectorielle quelconque !

[Gpadide]

Salut.


F est complet, donc les suites de cauchy dans F converge dans F : c'est la definition d'une partie complete, la suite doit convergait au sens de la topologie de F donc la limite doit neccessairement être dans F.

Je ne comprends pas cette subtilité ?:Ne se pourrait il pas que la suite converge en un point quelconque de l'adhérence de F (par exemple un point de la frontiere)?

[invite4ef352d8]

Non.

si c'etait le cas, F ne serait pas complet.

la question est de savoir si vis a vis de la topologie de F la suite est convergente ou non. si la limite n'est pas dans F alors la suite est divergente.


par exemple, si on travaille dans l'ensemble des polynome muni de la norme infinit sur [0,1]

la suite 1+x+x^2/2+x^3/6+..+x^n/n!

est une suite divergente !

(alors que si on ce place dans l'ensemble des fonction continu, on sait qu'elle converge vers exp(x), mais pour le "voir" il faut ce placer dans un espace plus grand.)


il faut bien avoir en tête que la notion de fermeture et de convergence depend de l'espace dans le quel on ce place. la notion de completude elle ne depend que de la distance utilisé (ou de la topologie définit), c'est pour ca qu'on peut considérer la completude comme une proprété de fermeture "absolue"

[edpiste]

Non.
la notion de completude elle ne depend que de la distance utilisé (ou de la topologie définie)

Attention, la complétude n'est pas une notion qu'on peut définir sur un espace topologique quelconque. Il faut une métrique (ou plus généralement une structure uniforme).

Sinon, pour montrer que ton sous-ev de dimension finie est fermé, la méthode séquentielle que tu évoques marche très bien. Il faut juste écrire ta suite dans la base du sous-ev et vérifier que chaque coordonnée admet une limite...

[invite35452583]

La complétude n'est pas une propriété topologique, c'est une propriété métrique (il faudrait être plus précis pour englober les structures uniformes et filtres mais c'est peu usité).
Contre-exemple somme toute banal :
R muni de la métrique d(x,y)=llarctg(x)-arctg(y)ll est toplogiquement l'espace R usuel mais n'est pas complet.
Un sous-espace complet est fermé si la propriété de complétude est vérifiée pour la métrique induite.

Par contre, je suis d'accord avec Ksilver ma démo ne montre la fermeture que pour le cas où le sev est dans un ev de dimension finie. Mais la mienne fonctionne même pour les Q-ev, par exemple

au fait je reviens de relire le post initial (je savais bien qu'il y avait quelque chose qui ne va pas, la fin du post de Ksilver m'a fait réagir) :

Bonjour, j'ai lu qq part qu'un sous espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension finie etait fermé ... Si c'est vrai comment le montrer ?? Je n'y arrive pas avec la caractérisation sequentielle...

Deux manières de lire : la mienne a été l'ev fini est celui qui contient le sev (ma démo répond alors pleinement à la question en plus rapide que la séquentielle je trouve mais c'est affaire de goût). Il me semble que Ksilver l'ait lu tout sev de dimension finie d'un ev (quelconque) est fermé et sa démo (en précisant bien ce qui est entendu par isomorphisme) le montre pour le cas où le corps des scalaires est complet. (la démo séquentielle doit fonctionner mais doit être lourde)
Mais le cas général, un sev de dimension fini d'un ev quelconque sur un corps quelconque est fermé, est faux.
Contre-exemple :
Q est un Q-ev de dimension finie qui n'est pas fermé dans R.