Axiome du choix ?

[invitec859637e]

Du coup, pour prendre l'exemple des séries de Fourier, la famille des cos(nx) et sin(nx) n'est pas une base algébrique des fonctions 2Pi-périodiques ?

Bon je me suis répondu tout seul. Ne pas confondre base et base de Hilbert ...
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[invite4ef352d8]

non... ce qu'on peut dire, c'est que c'est une base d'une parti dense.


"A-t-on des pistes pour savoir à quoi pourrait ressembler une telle base ?"

oui on sais précisement a quoi elle ressemble : a rien

ce sont des objet completement pathologique, que personne na jammais réussit a exhiber, et que vraisemblablement personne n'exihbera jammais. si tu doute de cela, je te fais remarquer que "exhiber" un ensemble c'est en donner une description par des symboles... ie par un alphabet finit, donc on ne peut exhiber qu'un nombre dénombrable de parti de E.... or des parti de E, c'est de l'ordre de P(R), c'est "tres largement" non dénombrable. il est donc "tres probable" qu'une telle ne base ne puisse effectivement pas etre décrite par un nombre finit de symbole...

c'est d'ailleur ce qu'on reproche a l'axiom du choix : il construit uniquement des objets "pathologique" de ce type... jammais rien de concret.


NB : a ma connaissance, les EV de dimension infinit donc on connait une base explicite il y a en gros que de deux type : ceux qu'on définit a partir de leur base, en géneral dénombrable, du genre les polynome/polynome trigonométrique. et un cas assez exeptionelle : les fractions rationelle (dont on peut exhiber une base non dénombrable, composé des x^n pour n dans N et des 1/(x-a)^k, avec a dans C et k dans N*...)

[martini_bird]

Salut,

A mon humble avis, ce qu'il faut bien comprendre avec l'axiome du choix, c'est qu'il autorise, pour un ensemble quelconque de parties, la sélection arbitraire d'un élément dans chaque partie : on ne dispose ainsi d'aucun critère ou algorithme prédéfini pour décider quel élement choisir.

Une image due à Hilbert (si mes souvenirs sont bons) consiste à dire que dans une collection infinie de tiroirs contenant chacun une paire de chaussures, on peut toujours choisir une chaussure par tiroir (la gauche par exemple), mais que pour des tiroirs contenant des chaussettes, on a besoin de l'axiome du choix.

c'est d'ailleur ce qu'on reproche a l'axiom du choix : il construit uniquement des objets "pathologique" de ce type... jammais rien de concret.

Dans le cas d'ensembles finis de parties, pas de difficulté, celà revient à choisir un élément d'un ensemble fini. Mais dans le cas dénombrable et surtout pour le cas non-dénombrable, divers paradoxes surgissent du fait que des objets peuvent exister sans pourtant qu'on puisse les construire de manière effective.
Ainsi, et comme tu le dis, on perd souvent partiellement voire totalement le contrôle sur ces objets (typiquement le découpage de Banach-Tarski ou les ensembles non-mesurables).

Ceci étant, l'axiome du choix est très utile car il permet de démontrer des théorèmes puissants en toute généralité. Il est toutefois possible de s'en passer dans de nombreux cas particuliers (existence d'une clôture algébrique pour les corps finis, compacité d'un produit dénombrable de compacts, etc.).

Cordialement.

[Médiat]

Une image due à Hilbert (si mes souvenirs sont bons)

Mes souvenirs pointent plutôt sur Russell (sans garantie).

[invite66b0c17a]

Ceci étant, l'axiome du choix est très utile car il permet de démontrer des théorèmes puissants en toute généralité.

Je vais me faire engueuler par Mediat, mais tant pis ...

Mon problème avec cet axiome est le suivant : j'ai déjà entendu des analystes dire que la définition d'une fonction c'était bien celle de la théorie des ensembles, mais qu'en fait, une fonction c'est un procédé pour associer une image à son antécédent.

L'image mentale du procédé me semble très répandue de ce côté là des mathématiciens. Soit.

Mais alors c'est vraiment très gênant de les voir utiliser l'axiome du choix pour démontrer leurs théorèmes puissants. Puisque ça revient à utiliser une fonction qui n'est pas un procédé. Simplement on cache ça sous le tapis de l'axiomatique.

Bon vous pouvez me jeter vos tomates, c'était juste pour embêter le monde. (et quand même montrer qu'il faut faire attention à ses images mentales).

[Médiat]

Puisque ça revient à utiliser une fonction qui n'est pas un procédé. Simplement on cache ça sous le tapis de l'axiomatique.

Tu vas éviter momentanément l'engueulade , parce je ne comprends pas ce que tu veux dire.
Par procédé, tu veux dire une description mathématiques permettant de dire pout tout élément de la source à quel élément de la destination on l'associe ? Et dans le cas où c'est bien cela, quelle est la différence avec la définition ensembliste ?

[invite66b0c17a]

Par procédé, tu veux dire une description mathématiques permettant de dire pout tout élément de la source à quel élément de la destination on l'associe ?

Oui. Je crois que je suis cuit.

Et dans le cas où c'est bien cela, quelle est la différence avec la définition ensembliste ?

La définition ensembliste est de définir une fonction comme une partie f de ExF telle que si (x,y) et (x,y') sont dans f alors y=y' et dans ce cas on convient de noter y=f(x).

C'est une description mathématique de f, c'est ça ?

Je crois que je vais m'enfermer dans une position intenable si je ne vais pas peaufiner un peu mes arguments.

Bon j'essaye, mais je m'aperçois que c'est très flou. N'hésite pas à poser des questions (méchantes), ça m'aidera.

En théorie des ensembles, une fonction est une partie de ExF. Deux axiomes parlent de parties :

- L'axiome de l'ensemble des parties
- Le schéma de compréhension

Le schéma de compréhension, qui dit que pour toute propriété P et tout ensemble E, il existe un ensemble dont les éléments sont ceux de E qui vérifient P, est le seul axiome qui dise comment créer une partie.

A ce stade et sans l'axiome du choix, les seules fonctions qu'on peut "exhiber" pour reprendre le vocabulaire du fil, sont celles qui sont données par une propriété. Ce qui ne veut pas dire que ce sont les seules qui existent.

L'axiome du choix affirme quant à lui l'existence d'une fonction d'une autre façon. C'est ce que je voulais dire par "une fonction qui n'est pas un procédé".

Je poste ? je poste pas ? Tape pas trop fort !!

[Médiat]

A ce stade et sans l'axiome du choix, les seules fonctions qu'on peut "exhiber" pour reprendre le vocabulaire du fil, sont celles qui sont données par une propriété. Ce qui ne veut pas dire que ce sont les seules qui existent.

Petite correction : par une propriétés, ou un schéma de propriétés (cela ne change rien au fond).

L'axiome du choix affirme quant à lui l'existence d'une fonction d'une autre façon. C'est ce que je voulais dire par "une fonction qui n'est pas un procédé".

Il est clair que l'axiome du choix permet de construire des fonctions que l'on ne peut construire sans lui, les fonctions de choix par exemple, mais bon, il en reste pas mal quand même.

Il y a des choses tout aussi déroutantes à portée de main : le faible nombre de réels que nous soyons capable de définir par exemple.

Tape pas trop fort !!

Bon, ça ira pour cette fois, il y a mon baffe-elbow qui me fait souffrir .

[invite66b0c17a]

Il y a des choses tout aussi déroutantes à portée de main : le faible nombre de réels que nous soyons capable de définir par exemple.

Est-ce que c'est le problème du langage qui est là derrière ? Qu'on ne peut écrire qu'une quantité dénombrable d'énoncés, pas assez pour tous les nombres réels.

C'est la différence entre définir un ensemble et définir tous ses éléments.

Pour en revenir à l'Axiome du choix, je trouve compréhensible qu'on rechigne à accepter les fonctions de choix.

J'ai une autre question à ce propos. J'ai parfois lu que certains résultats démontrés grâce à l'axiome du choix sont utilisés en physique, et que c'est la raison pour laquelle il faut l'accepter. J'aimerais bien savoir si quelques uns d'entre vous ont déjà vu ce genre d'idées et ce qu'ils en pensent ?

Mon avis c'est qu'on doit pouvoir s'en passer.

[Médiat]

Est-ce que c'est le problème du langage qui est là derrière ? Qu'on ne peut écrire qu'une quantité dénombrable d'énoncés, pas assez pour tous les nombres réels.

C'est la différence entre définir un ensemble et définir tous ses éléments.

Pour en revenir à l'Axiome du choix, je trouve compréhensible qu'on rechigne à accepter les fonctions de choix.

Je trouve très compréhensible que cet axiome ne soit pas naturel.

Pour la physique :

(Expression maritime (amicale et respectueuse, dans mon cas) : les bibelots de passerelles laissent la main aux bouchons gras)

[martini_bird]

Salut,

Mes souvenirs pointent plutôt sur Russell (sans garantie).

Oui, en effet, ma mémoire a défailli !

Cordialement.

[invite4ef352d8]

quand je dis que l'axiome ne construit que des objet "pathologique" et non explicitable je ne le dis pas à la légère : a chaque fois qu'on constuit quelque chose de concret et de manipulable en utilisant l'axiom du choix, c'est qu'en réalité on avait pas bessoin de l'axiome du choix !

mais c'est aussi normale d'obtenir de telle objet "inexplicitable" comme je l'ai dis, la tres grande majorité des application, ou des parti d'un ensemble ne sont pas explicitable ( par un simple argument de dénombrabilité). l'axiome du choix et en gros le seul moyen que l'on possède d'aller chercher ces objet qu'on ne peut pas expliciter, mais qui existe bien.



NB : ca n'as pas grand chose a voir mais, suite au poste de Martini_bird je me pose la question : on ne connait aucun exemple explicite d'ensemble non-mesurable ?

[Médiat]

quand je dis que l'axiome ne construit que des objet "pathologique" et non explicitable je ne le dis pas à la légère : a chaque fois qu'on constuit quelque chose de concret et de manipulable en utilisant l'axiom du choix, c'est qu'en réalité on avait pas bessoin de l'axiome du choix !

Dans la mesure (ce n'est pas un jeu de mots) où l'axiome du choix est là pour les constructions non explicitables ...

NB : ca n'as pas grand chose a voir mais, suite au poste de Martini_bird je me pose la question : on ne connait aucun exemple explicite d'ensemble non-mesurable ?

Explicite le mot est bien grand (puisque l'on utilise l'axiome du choix), mais le lien suivant peut t'intéresser :
http://perso.univ-rennes1.fr/nicolas...icule.exer.pdf problème N°3.1

[invitec00162a9]

Salut,

Autres versions équivalentes :

"tout ensemble non vide peut être bien ordonné" (axiome de Zermelo)
"tout ensemble inductif admet un élément maximal" (lemme de Zorn)

Ca me fait penser à une blague de matheux : l'axiome du choix est évidemment vrai, l'axiome du bon ordre est évidemment faux (penser à un bon ordre sur les réels : c'est assez coton), et le lemme de Zorn est tellement incompréhensible qu'on ne peut rien en dire...

[Médiat]

(penser à un bon ordre sur les réels : c'est assez coton)

Digression pour ceux non accoutumés à la manipulation de ces notions :
L'axiome du choix permet justement d'affirmer que dans toutes classes d'équipotence il y a au moins un ordinal, donc un ordinal plus petit que les autres, (le cardinal de la classe, disons par exemple dans le cas de ), soit f une bijection :

alors la relation sur définie par

où < est la relation de bon ordre sur , est un bon ordre sur (il est isomorphe à un bon ordre).
Ah bon, en plus tu veux que ce soit un ordre explicite

[invite66b0c17a]

Salut,


Ca me fait penser à une blague de matheux : l'axiome du choix est évidemment vrai, l'axiome du bon ordre est évidemment faux (penser à un bon ordre sur les réels : c'est assez coton), et le lemme de Zorn est tellement incompréhensible qu'on ne peut rien en dire...

Entièrement d'accord. C'est bien pour ça qu'on utilise le lemme de Zorn dans les démonstrations ...

[invite66b0c17a]

l'axiome du choix et en gros le seul moyen que l'on possède d'aller chercher ces objet qu'on ne peut pas expliciter, mais qui existe bien.



NB : ca n'as pas grand chose a voir mais, suite au poste de Martini_bird je me pose la question : on ne connait aucun exemple explicite d'ensemble non-mesurable ?

Juste une remarque sur "qui existent bien" : c'est vrai que la plupart des objets mathématiques ne sont pas "explicitables" (je reprends ton vocabulaire), mais d'une part l'axiome du choix ne permet certainement pas d'aller tous les chercher, il ne donne que des résultats d'existence. Et d'autre part, il faut se méfier de cette notion d'existence.

Les mathématiques sans AC sont non seulement consistantes, mais pas forcément plus fausses (ni plus vraies d'ailleurs) que celles avec AC.

on ne connait aucun exemple explicite d'ensemble non-mesurable : Non, et il est prouvé qu'on n'en rencontrera jamais, puisque le fait que tous les ensembles soient mesurables est compatible avec la théorie des ensembles (mais sans AC évidemment). Il pourrait d'ailleurs sembler que ZF + "tous les ensembles sont mesurables" est un cadre assez judicieux pour faire de la théorie de la mesure ?

Les ensembles non mesurables n'existent que si on a envie qu'ils existent.

[invite66b0c17a]

Digression pour ceux non accoutumés à la manipulation de ces notions :
L'axiome du choix permet justement d'affirmer que dans toutes classes d'équipotence il y a au moins un ordinal, donc un ordinal plus petit que les autres, (le cardinal de la classe, disons par exemple dans le cas de ), soit f une bijection :

alors la relation sur définie par

où < est la relation de bon ordre sur , est un bon ordre sur (il est isomorphe à un bon ordre).
Ah bon, en plus tu veux que ce soit un ordre explicite

Ce bon ordre sur donne d'ailleurs un très joli exemple d'ensemble non mesurable : l'ensemble des couples (x,y) de [0,1]x[0,1] tels que (où désigne le bon ordre sur (enfin moi je le trouve joli)

[invité576543]

et il est prouvé qu'on n'en rencontrera jamais[/B], puisque le fait que tous les ensembles soient mesurables est compatible avec la théorie des ensembles (mais sans AC évidemment).

Je ne vois pas en quoi c'est une preuve. Comment rattaches-tu la propriété "rencontrable" (qui est un peu flou pour moi, je dois dire) à la théorie des ensembles?

Cordialement,

[invite66b0c17a]

Je ne vois pas en quoi c'est une preuve. Comment rattaches-tu la propriété "rencontrable" (qui est un peu flou pour moi, je dois dire) à la théorie des ensembles?

Cordialement,

Ce n'est pas la propriété "rencontrable" mais plutôt "explicite". Ce qui signifie je pense dans l'esprit de la majorité des participants à ce fil, qu'on en donne une construction.

Ce qui est prouvé c'est qu'on ne peut pas construire à partir de ZF d'ensemble non mesurable, il faut ajouter un nouvel axiome.

[invité576543]

Ce qui est prouvé c'est qu'on ne peut pas construire à partir de ZF d'ensemble non mesurable, il faut ajouter un nouvel axiome.

Mais on ne peut pas expliciter non plus d'ensemble infini, non?

Et il n'est pas clair qu'on puisse construire un ensemble infini sans l'axiome de l'infini, donc un ajout d'axiome aussi.

Y-a-t-il une différence de principe entre l'ajout de l'axiome de l'infini pour avoir N comme ensemble, et l'ajout de l'axiome du choix pour avoir des ensembles non mesurables?

Cordialement,

[invite66b0c17a]

Mais on ne peut pas expliciter non plus d'ensemble infini, non?

Et il n'est pas clair qu'on puisse construire un ensemble infini sans l'axiome de l'infini, donc un ajout d'axiome aussi.

Y-a-t-il une différence de principe entre l'ajout de l'axiome de l'infini pour avoir N comme ensemble, et l'ajout de l'axiome du choix pour avoir des ensembles non mesurables?

Cordialement,

C'est vrai que l'axiome de l'infini est nécessaire pour "construire" un ensemble infini.

La différence que je vois (je ne sais pas si elle est "de principe"), est qu'une fois l'axiome de l'infini admis, on peut parler de N, de Q, de R comme d'objets mathématiques uniques. Tandis que l'axiome du choix donne l'existence d'un bon ordre sur R, mais aucun bon ordre "canonique".

Mais tu soulèves une bonne question, à laquelle tu as peut-être une meilleure réponse que moi ?