Intégrales impropres

[Gpadide]

Bonjour, voici un exo d'oral des mines sur lequel je seche complet:

soit f de classe C^2 de R+ dans R telle que f et f'' soient semi intégrables sur R+. Montrer que f et f' tendent vers 0 quand x tend vers +inf et que f' est semi intégrable.

J'ai reussi a montrer que f' admet une limite finie. Je sais aussi que si l'on arrive a montrer que f admet une limite finie en +inf, alors ca sera nécessairement zero.
C'est a peu pres tout ce que je peux dire pour l'instant...
Merci pour vos aides généreuses (=
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[Gwyddon]

Salut,

Pour f' tu as songé à écrire explicitement ? Avec une primitive par exemple

[invite35452583]

Salut,

Pour f' tu as songé à écrire explicitement ? Avec une primitive par exemple

Avec ceci on a une limite finie pour f' (Gpapide y a peut-être pensé vu les résultats annoncés dans son post)
Allons un peu plus loin, cette limite peut-elle strictement positive avec f semi-intégrable. (A partir d'un moment on aura f'>c>0, f(x)>c(x-truc)+f(truc)...) idem pour strictement négative évidemment.
Voilà, voilà pour f'.

[Gwyddon]

Oui bon mon indice est tout pourri, ok

Désolé Gpadide, j'avais un peu survolé ton post

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gpadide]

Ok merci homotopie, j'ai donc par ton raisonnement reussi a montrer que f' tend vers 0. (Par l'absurde, on montre que f tend vers +inf: contradiction). Maintenant il me reste a montrer que f tend vers zero. Comme elle est intégrable il suffit de montrer qu'elle admet une limite finie (la derniere conclusion s'en déduit alors facilement). Mais je ne vois pas du tout comment faire ca: par l'absurde ca semble un peu bouché (une fonction qui n'admet pas de limite, c pas tres pratique)...

[invite35452583]

Ok merci homotopie, j'ai donc par ton raisonnement reussi a montrer que f' tend vers 0. (Par l'absurde, on montre que f tend vers +inf: contradiction). Maintenant il me reste a montrer que f tend vers zero. Comme elle est intégrable il suffit de montrer qu'elle admet une limite finie (la derniere conclusion s'en déduit alors facilement). Mais je ne vois pas du tout comment faire ca: par l'absurde ca semble un peu bouché (une fonction qui n'admet pas de limite, c pas tres pratique)...

Il vaut mieux montrer tout de suite que la limite est nulle cette fois. Par la'bsurde.
Si une fonction f se "permet" de prendre régulièrement des valeurs supérieures à un truc constant positif (ou inf à val nég) alors qu'elle varie peu (f' tend vers 0) ça fait des morceaux d'intégrale qui ne convergent pas vers 0 incompatibles avec une convergence de l'intégrale sur R+ entier.

[Gpadide]

Je vois a peu pres ce que ca fait sur le dessin, mais j'arrive pas a le rédiger

[invite35452583]

Je vois a peu pres ce que ca fait sur le dessin, mais j'arrive pas a le rédiger

Et bien reprends les éléments du dessin en donnant des noms aux valeurs utilisées.
pour certains x, donner indices ou autres à ces x.
f' tend vers 0, à partir de quoi a-t-on f' très petit (donner un "nom" à ce très petit, donner un nom à truc du "à partir de truc")
On calcule certaines parties de l'intégrale le dire, comment majorer ou minorer...


EDIT de rectification : peux-tu reposter la partie tex si j'ai mal corrigé ? Merci

[Gpadide]

Ce qui me gene dans ce raisonnement, c'est la contraposée de "f ne tend pas vers zero". Pour toi c'est "f se "permet" de prendre régulièrement des valeurs supérieures à un truc constant positif " ??

[invite35452583]

Ce qui me gene dans ce raisonnement, c'est la contraposée de "f ne tend pas vers zero". Pour toi c'est "f se "permet" de prendre régulièrement des valeurs supérieures à un truc constant positif " ??

Si f tend vers 0 alors pour tout e>0, alors à partir d'une valeur M, lf(x)l<e.
Si f ne tend pas vers 0 il existe e>0 (e="truc") tel que pour tout M, il existe x tel que lf(x)l>e.
M=0->x0 lf(x0)l>e
M=x0+1->x1 lf(x1)l>e
M=x1+1->x2...
...
Maintenant il y a, sans exclusive, soit une infinité de i tel que f(xi)>e, soit une infinité de fois où f(xi)<-e.
Quitte à prendre -f à la place de f (si une tend vers 0 l'autre aussi) on peut supposer que l'on ait dans le 1er cas.

[Gpadide]

Mais les fonctions que l'on construit dans le cours qui ne tendent pas vers zero et qui sont intégrables verifient pourtant ce que tu viens de dire...

[invite35452583]

Mais les fonctions que l'on construit dans le cours qui ne tendent pas vers zero et qui sont intégrables verifient pourtant ce que tu viens de dire...

Je me place dans ce cas :
1) intégrable
2) ne tend pas vers zéro
alors quel est le problème ?

[Gpadide]

Je reprends ce vieux post car je n'arrive toujours pas a bien comprendre pourquoi f tend vers zero...

Quitte à prendre -f à la place de f (si une tend vers 0 l'autre aussi) on peut supposer que l'on ait dans le 1er cas.

Je suis pas d'accord avec ca, pour moi si la suite oscille, elle prend tout le temps des valeurs positives et négatives, elle passe aussi par zero a chaque fois, donc j'arrive pas a aboutir a une contradiction...

[invite35452583]

Reprenons
f est une fonction semi-intégrable, f' existe et tend vers 0.
Montrons qu'une fonction f vérifiant f' existe et tend vers 0 quand x tend vers +infini et f ne tend pas vers 0=>f n'est pas semi-intégrable.
1) Pour montrer que f est non semi-intégrable il suffit de trouver des intervalles [xi;x'i] avec xi tendant vers +inf (on s'arrangera pour que xi<x'i<x(i+1) pour simplifier) tels que en valeur absolue avec m constant.
En effet, on a en cas de semi-intégrabilité :

Or si une série converge ses termes tendent vers 0 d'où une contradiction.

2) f' tend vers 0, soit M>0 tel que lf'(x)l<1 pour tout x>M
f ne tend pas vers 0, il existe x1>M tel que lf(x1)l>1.
f ne tend pas vers 0, il existe x2>x1+1/2 tel que lf(x2)l>1
si on a une séquence x1, x2,...,xi avec lf(xj)l>1 et x(k+1)>xk>M pour tout k, on peut construire une séquence vérifiant les mêmes propriétés au rang i+1.
On définit une suite ainsi. On pose x'i=xi+1/2.
Puisque xi>M, f conserve le même signe entre xi et x'i=xi+1/2 et on a lf(t)l>1/2 sur l'intervalle [xi;x'i] d'où en valeur absolue .

Maintenant puisque l'on a :
Si f' existe et tend vers 0 quand x tend vers +infini et f ne tend pas vers 0 alors f n'est pas semi-intégrable.
Si f' existe et tend vers 0 quand x tend vers +infini et f semi-intégrable alors f tend vers 0.
CQFD