Produit scalaire dans un B.O.N.

[Gpadide]

Bonjour, j'ai lu dans mon cours que le produit scalaire canonique d'un espace euclidien de dim. n s'ecrivait:



dans une base orthonormale

Je voudrais savoir pourquoi ce resultat n'est pas vrai dans une base quelconque ?
Merci.
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[GuYem]

Disons que, à partir du moment où tu écris , tu écris x_i, donc tu écris les coordonnées de x dans une base, donc tu as choisi une base pour les écrire ces coordonnées !

Il se trouve que la formule du produit scalaire que tu as donné n'est valable que si tu as choisi pour telle base une base qui est orthonormée pour ce produit scalaire.

[Gpadide]

Ok alors pouvez vous me montrer comment cela transposée(X)Y peut etre différent de cette somme, dans le cas ou la base n'est pas orthonormale ?

[GuYem]

Tu te méprends (et tu peux me dire "tu" !)

La multiplication matricielle donne toujours la valeur . Mais dis-toi bien que, quand tu écris cette multiplication matriciellle, tu as déjà choisi la base dans laquelle tu travailles.

Oublie les matrice et tout ça et suis-moi : prend un produit scalaire sur E et une base orthonormée pour ce produit scalaire. Maintenant prend x et y dans E et écris les sur cette base : , ,

Maintenant fais le produit scalaire et utilise ses propriétés :


Tu as surement vu passer dans ce calcul que l'orthonormallité de la base est importante.

[A voir en vidéo sur Futura]