Démonstration correcte ? (série de fonctions)

[prgasp77]

Bonjour à tous.
Je doute un peu de la validité de ma démonstration, et j'aimerais connaitre vos avis afin de me rassurer. J'avais déjà ouvert un fil à ce sujet, mais vous savez que peu de monde regarde les vieux sujet avec plus de 5 réponses

Enoncé :
On définie la fonction comme suit :

Après avoir vérifié l'existance de (fait), démontrer que .


Tentative de démonstration :

1. On cherche à démontrer que
   
   • Convèrgence simple de .
     Soit une suite de fonction, avec
     
     convèrge simplement vers dans .
     
     
     
   • Convèrgence uniforme de .
     Pour tout de , est dérivable dans en
     convèrge simplement vers dans .
     .
     Donc, convèrge uniformément vers sur .
     
     
     
   • Expression de la dérivée de d'après les dérivées des .
     D'après la propriété que l'on montrera au 2.,
     
     pour ;
     
     
     
     
   • Démonstration.
     On applique un développement de limité à l'ordre 1 au voisinage de 0 :
     
     
   
   
   
   
   
   
   
   
2. On cherche à démontrer la propriété utilisée ci-dessus, à savoir
   
   • Convèrgence simple de .
     Soit une suite de fonction, avec
     
     convèrge simplement vers dans .
     
     
     
     
   • Convèrgence uniforme de .
     La suite est strictement décroissante pour ; soit la suite de fonction telle que . Ainsi, pour ,
     ,
     suite qui convèrge vers 0.
     convèrge uniformément vers sur
     convèrge uniformément vers sur
     
     
     
     
   • Démonstration.
     Le nombre est, s'il existe, la limite suivante :
     
     
     C.Q.F.D. ?

Merci de votre aide.
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[indian58]

Salut,

je vais essayer de te faire part des quelques remarques que je me suis faites.

1) tout d'abord, je suppose que tu es en taupe et que tu vas passer tes concours. Et même si ce n'est pas le cas, applique quand même ce conseil : n'hésite pas à citer les théorèmes ( avec leurs énoncés) que tu utilises (par exemple, pour monter que la série est C1 au voisinage de 0).

2) dans le 1) je n'aurais pas appelé cette suite de fonction fn. Cette dénomination n'est pas très judicieuse dans le sens où la limite de fn est f. Or ce n'est pas le cas dans ton exemple.

3) "fn' converge uniformément vers 0". Oui, et alors??

4) "Sn"converge uniformément". oui, et alors??

5) Tu utilises le th lim lim. Il dit quoi? Tu as justifié son emploi??

6) Dans 2), "la suite fn est strictement décroissante". Non c'est la suite (-1)^(n-1)*fn. De plus, tu parles pas de sa limite quand n tend vers l'infini, ni du théorème que tu appliques (en l'occurence, le critère spécial des séries alternées).

7) En conclusion, je me répète mais cite et justifie clairement les théorèmes que tu emploies.

8) Mon avis sur cette démonstration : elle set intéressante mais si f'(0)=0, comment trouves-tu ton équivalent? tu seras obligé de passer à f'' et de justifier une nouvelle fois le caractère C1 de f. SANS COMPTER LE FAIT QUE F N'EST PAS TOUT LE TEMPS C1 EN 0 (NI EN UN AUTRE POINT). Pour cela, il vaut mieux utiliser une autre méthode (qui te permet de conjecturer le résultat)

8') Donc, voilà ce que j'aurais fait :

_ soit x>0. (ln(1+x/n))n>=1 est une suite positive décroissante tendant vers 0 quand n tend vers l'infini. Donc, par le critère spécial des séries alternées, f est bien définie pour x>0.
_ !!!!!!!!!!!AU BROUILLON PAS SUR LA FEUILLE : quand x est tout petit >0, ln(1+ x/n) vaut à peu près x/n. Donc f(x) vaut a peu près Sum((-1)^(n-1) x/n) i.e. xln(2). Montrons alors que f(x) équivaut à xln2 quand x est tout petit.
_ MAINTENANT SUR LA FEUILLE : f(x) -xln2 = Sum ( (-1)^(n-1) (ln( 1+x/n) - x/n) ). Montrons que f(x) - xln2 =o(x) pour x voisin de 0+.
Pour x >0, 1/x*(f(x) -xln2) = Sum ( (-1)^(n-1) (ln( 1+x/n) - x/n) )/x.
_ Ensuite, tu appliques le th lim lim (je te laisse le détail).
_ Puis tu conclues : f(x) = xln2 + o(x) pour x voisin de 0. Donc, on a le résultat voulu.

[prgasp77]

Salut,

je vais essayer de te faire part des quelques remarques que je me suis faites.

Merci bien.

1) tout d'abord, je suppose que tu es en taupe et que tu vas passer tes concours. Et même si ce n'est pas le cas, applique quand même ce conseil : n'hésite pas à citer les théorèmes ( avec leurs énoncés) que tu utilises (par exemple, pour monter que la série est C1 au voisinage de 0).

Je vais tout faire pour suivre ton conseil (il faut dire que je ne connais pas assez bien mon cours, et tous les théorèmes n'ont pas un nom ... à quand une indéxion de tous les théorèmes ? Selon le théorème ISO-243689-521, ...)

2) dans le 1) je n'aurais pas appelé cette suite de fonction fn. Cette dénomination n'est pas très judicieuse dans le sens où la limite de fn est f. Or ce n'est pas le cas dans ton exemple.

Oui oui, à vrai dire je les avais applées , mais je ne sais pas pourquoi j'ai écrit

3) "fn' converge uniformément vers 0". Oui, et alors??

4) "Sn"converge uniformément". oui, et alors??

Ca va avec ta remarque 1), ce sont des hypothèses de théorèmes.

5) Tu utilises le th lim lim. Il dit quoi? Tu as justifié son emploi??

toujours le 1), j'aaurai du citer le théorème pour vérifier qu'il est bien justifié.

6) Dans 2), "la suite fn est strictement décroissante". Non c'est la suite (-1)^(n-1)*fn. De plus, tu parles pas de sa limite quand n tend vers l'infini, ni du théorème que tu appliques (en l'occurence, le critère spécial des séries alternées).

Au temps pour moi, la suite est strictement décoirssante pour .

8) Mon avis sur cette démonstration : elle set intéressante mais si f'(0)=0, comment trouves-tu ton équivalent? tu seras obligé de passer à f'' et de justifier une nouvelle fois le caractère C1 de f. SANS COMPTER LE FAIT QUE F N'EST PAS TOUT LE TEMPS C1 EN 0 (NI EN UN AUTRE POINT). Pour cela, il vaut mieux utiliser une autre méthode (qui te permet de conjecturer le résultat)

Je n'ai jamais dit qu'il s'agissait là d'une méthode générale. Je fais comme ça ici, parce que

8') Donc, voilà ce que j'aurais fait :

_ soit x>0. (ln(1+x/n))n>=1 est une suite positive décroissante tendant vers 0 quand n tend vers l'infini. Donc, par le critère spécial des séries alternées, f est bien définie pour x>0.
_ !!!!!!!!!!!AU BROUILLON PAS SUR LA FEUILLE : quand x est tout petit >0, ln(1+ x/n) vaut à peu près x/n. Donc f(x) vaut a peu près Sum((-1)^(n-1) x/n) i.e. xln(2). Montrons alors que f(x) équivaut à xln2 quand x est tout petit.
_ MAINTENANT SUR LA FEUILLE : f(x) -xln2 = Sum ( (-1)^(n-1) (ln( 1+x/n) - x/n) ). Montrons que f(x) - xln2 =o(x) pour x voisin de 0+.
Pour x >0, 1/x*(f(x) -xln2) = Sum ( (-1)^(n-1) (ln( 1+x/n) - x/n) )/x.
_ Ensuite, tu appliques le th lim lim (je te laisse le détail).
_ Puis tu conclues : f(x) = xln2 + o(x) pour x voisin de 0. Donc, on a le résultat voulu.

C'est une méthode judiscieuse, je vais tenter de l'appliquer.


Merci beaucoup de ton aide. N'hésite pas à revenir sur mes commentaires.
Bonne journée.

[indian58]

Un des avantages de cette méthode, c'est de pouvoir conjecturer l'équivalent et d'éviter les pb de dérivabilité et autre.
Grosso modo, je pense qu'il faut que tu cites clairement tes théorèmes (du moins les plus importants) et que tu énonces bien tes hypothèses.

Juste une remarque, par exemple, quand tu dis que tu va montrer les convergences simple et uniforme de fn, c'est bien mais ce n'est pas ça qui impote. Je veux dire, ce qui importe et que tu ne dis pas, c'est le fait que la série est continue, dérivable, etc...

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