Bonjour à tous,
Je recherche une démonstration élégante d'un petit problème de géométrie dans l'espace :
Considérons une surface dont l'intersection avec un plan quelconque est soit :
1- {}
2- un point
3- un cercle
Quelle est la nature de la surface?
Je sais que ce problème est classique (Khole de math sup), je souhaiterais une démonstration simple et élégante...
J'oubliais : la réponse est triviale : une sphère ... c'est la demonstration qui compte!
On va tenter un truc...
On considère un plan qui coupe la figure en un cercle. On construit l'axe qui passe par le centre de ce cercle et qui est perpendiculaire au plan.
On va maintenant considérer un plan quelconque passant par cet axe. Son intersection avec le cercle est constitué de deux points. Ces deux points forment un segment dont la médiatrice est l'axe. L'intersection du plan avec la figure est un cercle, puisqu'on sait qu'elle contient au moins deux points distincts.
On considère maintenant ce cercle. Son centre est sur l'axe, donc il suffit de connaitre les points d'intersection de l'axe et du cercle pour le déterminer. Ces deux points d'intersection sont donc les deux seuls points d'intersection de l'axe et de la figure.
Comme le centre du cercle d'intersection d'un plan passant par l'axe est au millieu de ces deux points, et que leur distance constitue le diamètre de ce cercle, tous les plans passant par l'axe couperont la figure en un cercle de même centre et de même rayon.
Autrement dit, tous les points de la figure sont équidistants du centre qu'on vient de déterminer.
Et donc, il s'agit d'une sphère.
Pour éliminer les cas particuliers non tenus en compte par cette "démonstration", on considère le cas ou il n'y a pas de plan qui coupe la figure en un cercle...
...dans ce cas, c'est toujours un point ou rien. Si la figure contenait au moins deux points distincts, son intersection avec un plan passant par l'axe formé par ces deux points compterait plus d'un point, donc la figure est un point.
...et s'il n'y a pas non plus de plan qui coupent la figure en un point, la figure est vide.
Bon, ça ne ressemble pas vraiment à une démonstration, mais c'est une manière simple de se visualiser que c'est la seule possibilité. Et je pense qu'abstraction faite d'éventuels raccourcis que je prends, l'ensemble est assez rigoureux et ne laisse rien de coté. A toi de me dire si l'ensemble te convient, si tu vois des erreurs ou s'il y a des passages que tu ne comprends pas.
ok jusque làEnvoyé par yat
de quel plan parles tu ? il y a deux plans maintenant,non?
L'intersection du plan avec la figure est un cercle, puisqu'on sait qu'elle contient au moins deux points distincts.
par hypothèse, il existe toujours un plan qui coupe la surface, et dans ce cas l'intersection est un cercle...
On considère maintenant ce cercle. Son centre est sur l'axe, donc il suffit de connaitre les points d'intersection de l'axe et du cercle pour le déterminer. Ces deux points d'intersection sont donc les deux seuls points d'intersection de l'axe et de la figure.
Comme le centre du cercle d'intersection d'un plan passant par l'axe est au millieu de ces deux points, et que leur distance constitue le diamètre de ce cercle, tous les plans passant par l'axe couperont la figure en un cercle de même centre et de même rayon.
Autrement dit, tous les points de la figure sont équidistants du centre qu'on vient de déterminer.
Et donc, il s'agit d'une sphère.
Pour éliminer les cas particuliers non tenus en compte par cette "démonstration", on considère le cas ou il n'y a pas de plan qui coupe la figure en un cercle...
la figure n'est jamais un point...
...dans ce cas, c'est toujours un point ou rien. Si la figure contenait au moins deux points distincts, son intersection avec un plan passant par l'axe formé par ces deux points compterait plus d'un point, donc la figure est un point.
Pour clarifier le problème, considère l'énoncé suivant :
...et s'il n'y a pas non plus de plan qui coupent la figure en un point, la figure est vide.
Bon, ça ne ressemble pas vraiment à une démonstration, mais c'est une manière simple de se visualiser que c'est la seule possibilité. Et je pense qu'abstraction faite d'éventuels raccourcis que je prends, l'ensemble est assez rigoureux et ne laisse rien de coté. A toi de me dire si l'ensemble te convient, si tu vois des erreurs ou s'il y a des passages que tu ne comprends pas.
Dans l'espace, quel peut être l'intersection d'un plan avec une sphère?
Réponse :
1- {} : aucune intersection : la sphère est "fini": c'est donc possible
2- un point : plan est tangent à la sphère
3- le plan coupe la sphère : c'est un cercle
Je demande de démontrer la réciproque !
Bonjour,
au lieu d'être une sphere, est-ce que ça ne peut pas être un cône?
non :
imagine que le plan coupe la base du cone et le sommet du cone : ca donne un triangle.
A partir du moment ou je dis "On va maintenant considérer un plan quelconque passant par cet axe", ça veut dire qu'à partir de ce moment là, je considère un plan quelconque passant par cet axe. Tu peux oublier le premier plan.
L'hypothèse ne le précise pas. Elle dit que l'intersection de la figure avec un plan est soit rien, soit un point soit un cercle, mais elle ne précise pas qu'il existe forcément au moins un plan qui la coupe en un cercle. A l'école on m'a appris à être rigoureux. Si cela ne te semble pas nécessaire, tu peux t'arréter au moment ou je dis "et donc il s'agit d'une sphère".
En effet. Si la figure coupe forcément au moins un plan en un cercle, alors c'est forcément une sphère.
Ben je l'ai fait ! Si les précautions que j'ai pris à la fin ne te plaisent pas, ça ne rend pas le reste invalide, que je sache ?
Duduc : Un plan peut aussi couper un cone en une hyperbole, une parabole, un couple de droites sécantes...
petite question un peu farfelu , on peut etendre la démonstration a une dimension superieur ?
Mais a une dimension superieure tu auras aussi une sphere comme possibilité...
Intuitivement je dirais que oui, mais l intuitif en maths...
Bah en tout cas la réciproque est vraie, une hypersphère coupe un hyperplan en une sphère, un point ou l'ensemble vide.
J'ai testé toutes les déductions de ma démo (bah oui, pour l'instant c'est la seule qui ait été proposée), et ça a l'air de bien passer en passant à la dimension supérieure. Evidemment, c'est pas aussi évident à visualiser.
J'ai beaucoup de mal a imaginé une hypersphere qui donne une sphere a l'intersection d'un plan , mais je suppose que c'est normal .
Dans ce domaine des mathematiques , quels sont les veritables outils pour démontrer ,puisque aucune visualisation n'est possible ?
Une hypersphère reste l'ensemble des points equidistants d'un point, mais en 4D.
En 4D, un hyperplan est simplement un espace de trois dimensions. Par exemple, si on prend tous les points pour lesquels l'abscisse (ou n'importe laquelle des quatre coordonnées) est nulle, on obtient un truc que l'on peut représenter dans notre monde en 3D, puisqu'il n'y a plus qu'un système de trois coordonnées. Par définition, les points d'intersections avec cet hyperplan sont tous les points de cet "espace 3D" qui sont à la bonne distance du centre. Si on projette le centre de l'hypersphère sur l'hyperplan, un simple calcul de distance 4D permet de voir que tous les points de l'intersection sont également équidistants d'un point de l'hyperplan. Or, dans un espace en trois dimensions (l'hyperplan), l'ensemble des points équidistants d'un point donné, ben c'est une sphère.
En ce qui concerne les outils, je pense qu'on peut prendre les mêmes qu'ne 2D ou en 3D... jusqu'à ce que tu commences à essayer de faire un schéma, les calculs et démonstrations sont similaires mais avec quatre dimensions.
Merci pour l'expliquation , ca a quelque chose a voir avec la topologie non ?
Je n'en ai pas la moindre idée.
