Dérivées partielles secondes d'une fonction composée

Slasher2610 · 27/05/2007 - 12h40

Salut!!
J'aimerais soliciter votre aide car je bloque sur la correction d'un exo.
Le voici : on donne $f(r,\theta) \rightarrow (x=r\cos\theta,y=r\sin\theta)\$ et $g:$ $(x,y)$ $\rightarrow g(x,y)$ avec g de classe ${\Large C}^1$ et on demande les dérivées partielles premières et secondes de $G=g \circ f$ .

Pour les dérivées partielles premières, aucun problème , on trouve bien :

$\frac{ \partial G}{\partial r} = \frac{ \partial g}{\partial x}\cos\theta + \frac{ \partial g}{\partial y}\sin\theta$

et

$\frac{ \partial G}{\partial \theta} = -\frac{ \partial g}{\partial x}r\sin\theta + \frac{ \partial g}{\partial y}r\cos\theta$

Bon jusque là rien d'extraordinaire.

Le problème survient pour les dérivées partielles secondes.
Je ne comprend pas comment il faut faire.

Instinctivement, j'ai par exemple pour $\frac{ \partial^2 G}{\partial \theta^2}$ fait $= \frac{ \partial}{\partial \theta}( -\frac{ \partial g}{\partial x}r\sin\theta + \frac{ \partial g}{\partial y}r\cos\theta)$

soit finalement en décomposant comme on le ferai pour un produit de fonctions :

$\frac{ \partial^2 G}{\partial \theta^2} = \frac{ \partial }{\partial x}\frac{ \partial x}{\partial \theta}(\frac{ \partial g}{\partial x})(-r\sin \theta) + \frac{ \partial g}{\partial x}(\frac{ \partial }{\partial \theta}(-r\sin \theta)) + \frac{ \partial }{\partial y}\frac{ \partial y}{\partial \theta}(\frac{ \partial g}{\partial y})(r\cos \theta) + \frac{ \partial g}{\partial x}(\frac{ \partial }{\partial \theta}(r\cos \theta))$

Or il se trouve que mon prof trouve des termes en $\frac{ \partial^2 g }{\partial x \partial y}$ se qui prouve que ma méthode est érronée. Quelqu'un pourrait-il m'expliquer comment peur on arriver à un tel résultat qui est :

$\frac{ \partial^2 G}{\partial \theta^2}\ = -r\cos\theta\frac{ \partial g}{\partial x} -r\sin\theta\frac{ \partial g}{\partial y}+r^2\sin^2\theta\frac{ \partial^2 g}{\partial x^2} + r^2\cos^2\theta\frac{ \partial^2 g }{\partial y^2} - 2r^2\sin\theta\cos\theta\frac{ \partial^2 g}{\partial x \partial y}$

PS :Bon bah au moins maintenant je sais manier LaTeX ,c'est toujours ça!

Ksilver · 27/05/2007 - 13h54

salut !

l'erreur est la ! d/dtheta, ce n'est pas du tous : d/dx *dx/dtheta !

tu dois dérivé g par rapport a theta, ce que tu fais en réutilisant les formule de la premiere partie.

(sachant que quand tu ecrit dg/dx, c'est en fait dg/dx composé avec f)

kinounou · 27/05/2007 - 13h55

Il ne faut pas oublier que la première dérivée partielle de g par rapport à x est une fonction des variables (x,y) avec x et y qui dépendent de r et theta,

donc quand on veut dériver par rapport à theta, il y aura la dérivée par rapport à x mais aussi celle par rapport à y qui interviendra et donc comme ton prof tu trouveras bien un terme en d^2g/(dxdy).

Slasher2610 · 27/05/2007 - 16h02

Envoyé par kinounou

Il ne faut pas oublier que la première dérivée partielle de g par rapport à x est une fonction des variables (x,y) avec x et y qui dépendent de r et theta,

donc quand on veut dériver par rapport à theta, il y aura la dérivée par rapport à x mais aussi celle par rapport à y qui interviendra et donc comme ton prof tu trouveras bien un terme en d^2g/(dxdy).

Merci beaucoup kinounou! C'est effectivement ce que j'ai bêtement oublié puisqu'il faut alors rajouter deux termes :

$\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \theta}(\frac{\partial g}{\partial x})(-r\sin\theta) + \frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \theta}(\frac{\partial g}{\partial y})(-r\cos\theta)$

Par contre je n'ai pas compris ce que tu as voulu me dire KSilver, notamment le $\frac{\partial}{\partial \theta} \neq \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \theta }$ car c'est justement cette égalité qui permet d'arriver à trouver le premier résultat :
$\frac{\partial G}{\partial \theta} = \frac{\partial g(\circ f)}{\partial \theta }= \frac{\partial g}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \theta} + \frac{\partial g}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \theta}$ car $g=g(x,y)$ et $x=x(r,\theta)$ ainsi que $y=y(r,\theta)$ (ce dont j'aurais du m'inspirer pour la dérivée seconde de g! car $\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)$ ). Et donc d'après le changement de variable utilisé, $\frac{\partial x}{\partial \theta} = -r\sin\theta$ et $\frac{\partial y}{\partial \theta} = r\cos\theta$ .

Voilà en tous cas merci beaucoup à tous les deux de m'avoir répondu (et par la même occasion bien aidé

!).

Ksilver · 27/05/2007 - 16h17

justement, tu utilise quelque chose qu'on ecrirai plutot d/dtheta = d/dx*dx/dtheta+d/dy*dy/dtheta. dans ton post tu oublié le terme d/dy*dy/dtheta.

ce que je disait c'est que tu avait oublié des termes. et je te proposais une autre solution, qui etait de calculer dg/dtheta et réutilisant les résultats du premier calcule une fois de plus.