Salut,
je suis en peine pour résoudre ce petit exercice et cela m'indispose fortement, j'en appel donc à vos lumières:
Soit (U(n)) une suite réelle bornéé t.q. U(n+1)-U(n) CV vers 0.
Montrer que l'ensemble des valeurs d'adhrences de (U(n)) est un segment.
Je sais que cet ensemble est fermé, borné, mais je ne le vois pas convexe; surtout quand je pense à ((1/2)^n), je vois mal comment approcher 3/4.J'oserais donc suggérer que l'énoncé est incorrect.
Merci d'avance.
Euh.. ça doit faire 20 ans que je n'ai plus fait de topologie et je vais peut être dire une bêtise:
Votre suite est une suite de Cauchy, et elle converge donc (dans R) dons elle a une seule valeur d'adhérence. Pour le démontrer, supposer qu'il y a deux valeurs d'adhérences..ça va clocher.
C'est vous qui avez raison (de mon point de vue).
JM
Moi c'est pas tellement mieux, je suis un physicien
Je ne crois pas que l'enonce soit incorrect, et il me semble qu'il ne s'agit pas de convexite, mais de compacite : les theoremes de Heine-Borel et de Bolzano Weierstrass feraient l'affaire. Evidemment, l'histoire de l'enclume et de la mouche....
.. correct parce que un point est un segment (degenere), donc le contre-exemple n'en est pas un ! Je viens seulement de realiser la confusion...
Je suis d'accord que le point est un segment, mais si la subtilité de l'exercice est là, il faut peut être en revoir l'énoncé.
JM
Envoyé par Raman
Je ne sais pas si l'énoncé est correct mais la seule valeur d'adhérence de cette suite est {0} qui est fermé, borné, convexe
.. et compact. Enfin, ce n'est qu'une opinion.
JM : tu as raison, c'est l'histoire de l'enclume et de la mouche. Il est certain que le resultat est correct (Heine-Borel + Bolzano-Weierstrass) mais il faut le demontrer de facon "elementaire".
En fait c'est vrai que l'enonce est louche. Deja comment montrer que l'ensemble des valeurs d'adherences n'est pas vide, sans montrer que c'est un point (auquel cas le probleme est trivial) ?
A mon avis c'est correct.
* Borné : évident si |u(n)| <= M alors toutes les |v.a.| de u sont
aussi <= M
* Fermé : plus velu mais classique :
{ v.a. } = intersection (adhérence ({ u(n), n >= p }) , p € IN) donc fermé comme intersection de fermés.
* Convexe : si a < b sont 2 v.a. et a < c < b. Soit eps > 0.
a = lim (a(f(n)), b = lim (a(g(n)) par définition,
Pour n assez grand a(f(n)) < c-eps et a(g(n)) > c+eps, on peut aussi trouver un n0 encore plus grand tel que f(n0) < g(n0) < f(n0+1) et encore plus grand tel que |u(n+1)-u(n)|< eps. Mézalor il y a un u(n) pour n entre f(n0) et g(n0) qui approche de c à moins de eps. On peut refaire ça autant de fois que l'on veut pour n aussi grand que l'on veut. C'est donc fini
Il y a quelques boulons à visser (eps doit être assez petit pour rentrer entre a et b, ...) mais ça m'a l'air correct et c'est assez intuitif en plus !
Avais-je tort de dire que la suite est convergente
Bon je m'excuse d'avance si je raconte des betises, mais il faudra mettre ça sur le compte de la fatigue
µµtt qu'est qui te permets de dire que a(f(n)) est plus petit que c ?Pour n assez grand a(f(n)) < c-eps et a(g(n)) > c+eps, on peut aussi trouver un n0 encore plus grand tel que f(n0) < g(n0) < f(n0+1) et encore plus grand
Si la suite est décroissante c'est faux.
Ensuite ta démo me semble bizzare dans le sens ou j'ai l'impression que tu mélanges des arguments aux limites |Un+1-Un|--->0 avec des valeurs d'indices fixe.
Ceci étant je suis d'accord avec JM ^^
>> µµtt qu'est qui te permets de dire que a(f(n)) est plus petit que c ?
Ben, a(f(n)) tend vers a < c dont pour n assez grand, ....
. |u(n+1)-u(n)| < eps, a(f(n)) < c-eps, a(g(n)) > c+eps pour n > N0.
Quitte à ré-extraire de a(f(n)) et a(g(n)) on peut prendre n0 tel que N0 < f(n0) < g(n0) < f(n0+1).
Il y a forcément un k dans f(n0) .. g(n0)-1 tel que |a(k)-c|< eps (on doit faire des petits pas < eps pour passer de c-eps à c+eps, on marche donc dans [c-eps .. c+eps] ....).
Pour faire joli on peut prendre le plus petit k, on peut répéter l'opération à l'infini.
lol autant pour moi
