endomorphisme nilpotent (math spé)

[invitec1e39d91]

Bonjour à tous, j'ai vraiment un soucis avec un petit exo mais costaud. Merci pour votre aide précieuse.
Soit u un endomorphisme d'un K-ev E. On dit que u est nilpotent ssi il existe n appartenant à N tq u^n = 0E. Montrer que si u est nilpotent, alors Id-u est bijectif.
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[inviteca3a9be7]

C'est toi qui poste un peu partout ?

cf http://www.maths-forum.com/forum/for...01&pg=end#last

[Coincoin]

Salut,
uⁿ=0_E, donc Id+u_n=Id (pour l'instant, rien de compliqué).
Or Id+uⁿ=(Id-u)o(Id+u+u²+...+u^n-1) (car Id et u commutent) (si t'es pas convaincu, développe et tu verras bien...).
Bref si j'appelle v=Id+u+u²+...+u^n-1, alors j'ai (Id-u)ov=Id. J'ai donc trouvé l'inverse de Id-u, qui est donc forcément bijectif...

Voilà, voilà

[invitef6a8dd1c]

D'accord, Coincoin (je n'ai pas vérifié en détail, mais je pense qu'on peut effectivement écrire sous cette forme), mais par analogie avec les réels, je dirais que c'est Id-uⁿ qui vérifie l'expression.

Voilà, juste pour mettre mon grain de sel

Geoffrey

[A voir en vidéo sur Futura]

[Coincoin]

Id-uⁿ

Exact...
L'analogie avec les réels marche car Id et u commutent ce qui permet de simplifier pas mal de termes.