Exprimer tg(x/2) en fonction de sin et cos

Bleyblue · 15/07/2007 - 17h19

Bonjour,

J'essaye donc d'exprimer tg(x/2) en fonction de sin et cos. Voici comment je procède :

Posons $t = tg(\frac{x}{2})$

On a $tg(x) = tg(\frac{x}{2} + \frac{x}{2}) = \frac{t + t}{1 - t^2}$ sauf si $t = \pm 1$ c'est à dire sauf si $x = \pm \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ k entier

c'est à dire $tg(x)t^2 + 2t - tg(x) = 0$

donc

$t = \frac{-2 + 2 \sqrt{\frac{1}{cos^2(x)}}}{2tg (x)} = \frac{-1 + \frac{1}{|cos(x)|}}{\frac{sin x}{cos x}} = \frac{-cos x + \frac{cos x}{|cos x |}}{sin x }$ sauf si tg(x) = 0

J'en déduis que :

$tg(\frac{x}{2}) = \frac{ -cos x + 1} {sin x}$ si cos x > 0 et sin(x) non nul

et

$tg(\frac{x}{2}) = \frac{ -cos x - 1} {sin x}$ si cos x < 0 et sin(x) non nul

Mais en donnant des valeurs à x et en entrant ça dans ma calculatrice il me semble qu'on a plutôt :

$tg(\frac{x}{2}) = \frac{ -cos x + 1} {sin x}$ pour tout x sauf si sin(x) = 0

Quelles erreurs ais-je donc commis ?

merci !

zélion · 15/07/2007 - 19h22

Envoyé par Bleyblue

Bonjour,

On a $tg(x) = tg(\frac{x}{2} + \frac{x}{2}) = \frac{t + t}{1 - t^2}$ sauf si $t = \pm 1$ c'est à dire sauf si $x = \pm \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ k entier

c'est à dire $tg(x)t^2 + 2t - tg(x) = 0$

donc

$t = \frac{-2 + 2 \sqrt{\frac{1}{cos^2(x)}}}{2tg (x)} = \frac{-1 + \frac{1}{|cos(x)|}}{\frac{sin x}{cos x}} = \frac{-cos x + \frac{cos x}{|cos x |}}{sin x }$ sauf si tg(x) = 0

C'est une equation du second degré n'est-ce-pas ? Et delta??

Bleyblue · 15/07/2007 - 23h39

eh bien $\Delta = 4 + 4tg^2(x) = \frac{4}{cos(x)^2}$ donc c'est bien juste

invite43219988 · 16/07/2007 - 14h36

Et pourquoi as-tu choisi cette solution et non la seconde ?

rvz · 16/07/2007 - 19h02

Salut,

Je propose plus court:
$\tan(x/2) = \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)} = \frac{\sin(x/2)\cos(x/2)}{\cos^2(x/2)} = \frac{\sin(x)}{2 \cos^2(x/2)} = \frac{\sin(x)}{(2 \cos^2(x/2)-1) +1} = \frac{\sin(x)}{\cos(x)+1}$

Amicalement,
rvz

NB : C'est rigolo, mais je crains qu'on n'ait pas la même chose...

Envoyé par Bleyblue

Bonjour,

J'essaye donc d'exprimer tg(x/2) en fonction de sin et cos. Voici comment je procède :

Posons $t = tg(\frac{x}{2})$

On a $tg(x) = tg(\frac{x}{2} + \frac{x}{2}) = \frac{t + t}{1 - t^2}$ sauf si $t = \pm 1$ c'est à dire sauf si $x = \pm \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ k entier

c'est à dire $tg(x)t^2 + 2t - tg(x) = 0$

donc

$t = \frac{-2 + 2 \sqrt{\frac{1}{cos^2(x)}}}{2tg (x)} = \frac{-1 + \frac{1}{|cos(x)|}}{\frac{sin x}{cos x}} = \frac{-cos x + \frac{cos x}{|cos x |}}{sin x }$ sauf si tg(x) = 0

J'en déduis que :

$tg(\frac{x}{2}) = \frac{ -cos x + 1} {sin x}$ si cos x > 0 et sin(x) non nul

et

$tg(\frac{x}{2}) = \frac{ -cos x - 1} {sin x}$ si cos x < 0 et sin(x) non nul

Mais en donnant des valeurs à x et en entrant ça dans ma calculatrice il me semble qu'on a plutôt :

$tg(\frac{x}{2}) = \frac{ -cos x + 1} {sin x}$ pour tout x sauf si sin(x) = 0

Quelles erreurs ais-je donc commis ?

merci !

Bleyblue · 16/07/2007 - 22h15

Envoyé par rvz

NB : C'est rigolo, mais je crains qu'on n'ait pas la même chose...

Si si on mutliplie ta solution par (1- cos x)/( 1 - cos x) on retrouve (1 - cos x)/sin x

Mais évidemment j'ai supposé cos x différent de 1 c'est à dire sin x non nul.
Ta solution est donc meilleur.

Reste à trouver ou se situe mon erreur

(= pq je tombe sur une solution "fausse")

Envoyé par ganash

Et pourquoi as-tu choisi cette solution et non la seconde ?

Car j'ai tracer les deux graphes et j'en ai conclus que la première était égale à tg(x/2) la ou elle est définie

Ca m'agace d'être un étudiant en math et de pas être capable de m'en sortir dans des raisonnements pareils qui sont à priori assez simple en comparaison avec ce qu'on me fait faire aux cours

merci

homotopie · 16/07/2007 - 22h47

Envoyé par Bleyblue

Reste à trouver ou se situe mon erreur

(= pq je tombe sur une solution "fausse")

Car j'ai tracer les deux graphes et j'en ai conclus que la première était égale à tg(x/2) la ou elle est définie

Avec ton raisonnement tu aboutis à (je laisse l'ambiguité un peu plus loin sur le signe) tg(x/2)= $\frac{-cos(x)+e(x)}{sin(x)}$ avec e(x)=+/-1, fonction a priori de x.
Sans graphe (il faudrait que j'apprenne un jour à en produire sur internet

) :
tg(x/2) est 2 pi périodique, croît de -infini en -pi(+) à +infini en +pi(-) et s'annule en 0. tg est continue sur ]-pi;+pi[, 1/sin(x) est continue sur ]-pi,0[ donc il en est de même de -cos(x)+e(x) ce qui impose trivialement e constant sur cet intervalle (e-) ainsi que sur l'intervalle ]0;pi[ par le même type de raisonnement (e+)
e- et e+ ont-ils même valeur et laquelle ?
tg (x/2) est continue en 0. Or sin(x) tend vers 0 en x=0, il faut donc que -cos(x)+e' tende vers 0 (e'=e- ou e+) mais ceci impose e'=1, ainsi e-=e+=1 et il n'y a qu'une formule tg(x/2)=(1-cos(x))/sin(x).
Ton erreur est donc sur le choix entre les deux racines de ton binôme et donc sur tes graphes (et ça il n'y a que toi qui les a

).

Bleyblue · 16/07/2007 - 23h05

Envoyé par homotopie

Avec ton raisonnement tu aboutis à (je laisse l'ambiguité un peu plus loin sur le signe) tg(x/2)= avec e(x)=+/-1, fonction a priori de x.
Sans graphe (il faudrait que j'apprenne un jour à en produire sur internet ) :
tg(x/2) est 2 pi périodique, croît de -infini en -pi(+) à +infini en +pi(-) et s'annule en 0. tg est continue sur ]-pi;+pi[, 1/sin(x) est continue sur ]-pi,0[ donc il en est de même de -cos(x)+e(x) ce qui impose trivialement e constant sur cet intervalle (e-) ainsi que sur l'intervalle ]0;pi[ par le même type de raisonnement (e+)
e- et e+ ont-ils même valeur et laquelle ?
tg (x/2) est continue en 0. Or sin(x) tend vers 0 en x=0, il faut donc que -cos(x)+e' tende vers 0 (e'=e- ou e+) mais ceci impose e'=1, ainsi e-=e+=1 et il n'y a qu'une formule tg(x/2)=(1-cos(x))/sin(x).

Jusque la ça va.

Mais comment se fait-il que j'ai pu commettre une erreur dans mon raisonnement ? J'ai simplement appliquer la formule donnant les solutions d'une équation du second degré ... tu parles de choix ... je ne vois pas bien

merci

homotopie · 16/07/2007 - 23h30

Envoyé par Bleyblue

Jusque la ça va.

Mais comment se fait-il que j'ai pu commettre une erreur dans mon raisonnement ? J'ai simplement appliquer la formule donnant les solutions d'une équation du second degré ... tu parles de choix ... je ne vois pas bien

merci

Le choix est là :

Envoyé par Bleyblue

c'est à dire $tg(x)t^2 + 2t - tg(x) = 0$

donc

$t = \frac{-2 + 2 \sqrt{\frac{1}{cos^2(x)}}}{2tg (x)}...$

Ton binôme admet deux solutions, ton + devant $2 \sqrt{\frac{1}{cos^2(x)}}$ fait le choix particulier d'une des deux racines.

Bleyblue · 17/07/2007 - 10h01

Mais je n'ai mis un + que parceque le +/- est apparut naturellement avec le |cos(x)| ce qui donne bien deux solutions en fonction du signe du cosinus.

non ?

merci