Ln complexe

[Quinto]

Bonjour,
je suis a la recherche d'un élément de réponse pour démontrer ce théorème:

"Il n'existe pas de fonction continue f vérifiant exp(f(z))=z sur C*"

Ca ne fait pas bien longtemps que je cherche, mais je ne vois pas bien ou partir, et je suis donc parti dans 10 directions a la fois.

Si je trouve un truc intéressant je posterai une réponse, mais si quelqu'un a une idée je suis preneur.

PS:J'aimerai ne pas avoir a définir une branche dans C sur laquelle je serai obligé de restreindre ma fonction f. Je sais que si je prend une telle branche, comme R- par exemple, une telle fonction f existe, mais l'idée est que j'aimerai partir du fait que je ne le sais pas....
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[Coincoin]

Salut,
Il suffit de regarder le passage de z=exp(i*0⁺) à z=exp(i*2Pi^-) pour voir qu'il y a une discontinuité au niveau de la partie imaginaire de f(z)...

[Quinto]

Oui mais on peut se débrouiller pour que la discontinuité disparaisse.
Le probleme c'est que si elle disparait on la retrouvera ailleurs.
L'idée est justement de montrer ceci.
Mais la tu utilises la discontinuité en 0, note que ma fonction n'est pas définie en ce point...

Je pense qu'une idée pas mal serait de montrer que les limites de f(it-Pi) et f(it+Pi)sont forcement pas égale partout (différente en au moins un point quoi), je vais voir ce que ca donne...

[Coincoin]

C'est vrai... Je vais voir si je retrouve ma pile de cours de maths de l'année dernière, où on avait parlé de ça (mais il y a de fortes chances pour qu'on ait admis le résultat )

[A voir en vidéo sur Futura]

[Coincoin]

Je confirme : je fais des maths pour physicien, et je ne peux pas t'aider

[Quinto]

Salut,
t'en fais pas si tu ne retrouves pas je vivrais bien quand meme...
Je finirais par trouver la faille, peu de problemes me resistent ...

[Quinto]

Bonjour,
bon en fait j'ai trouvé la solution pour ceux que ca intéresse:

Soit U={z dans C,mod(z)=1}

On peut parametrer U de la maniere suivante:

gamma(t)=exp(it) pour t dans [0,2Pi]

On se rend compte que l'intégrale de f'(z)dz est nulle suivant le contour gamma (fonction f' admettant une primitive f sur un contour fermé)(on peut en effet montrer que si f existe alors f est dérivable sur son domaine, a savoir C* et que f'(z)=1/z)

Cependant si on calcul la primitive de dz/z sur ce meme contour, on le trouve non nul. Ce qui prouve que f ne peut pas exister, puisque si elle existait, elle serait dérivable et de dérivée z->1/z et ainsi son intégrale suivant gamma serait forcément non nulle...

Voila un élément de réponse.
C'était simple, mais il fallait y penser...

[invite206bb45f]

Bonjour,
bon en fait j'ai trouvé la solution pour ceux que ca intéresse:

Soit U={z dans C,mod(z)=1}

On peut parametrer U de la maniere suivante:

gamma(t)=exp(it) pour t dans [0,2Pi]

On se rend compte que l'intégrale de f'(z)dz est nulle suivant le contour gamma (fonction f' admettant une primitive f sur un contour fermé)(on peut en effet montrer que si f existe alors f est dérivable sur son domaine, a savoir C* et que f'(z)=1/z)

Cependant si on calcul la primitive de dz/z sur ce meme contour, on le trouve non nul. Ce qui prouve que f ne peut pas exister, puisque si elle existait, elle serait dérivable et de dérivée z->1/z et ainsi son intégrale suivant gamma serait forcément non nulle...

Voila un élément de réponse.
C'était simple, mais il fallait y penser...

Belle solution. Ce probleme est un cas particulier du fait qu' "un revetement
non trivial ne peut avoir de section". C'est purement topologique, donc on pourrait vouloir une preuve egalement topologique. En voici une (qui utilise essentiellement la meme idee que dans celle que tu suggeres) :

Suppose que f existe, et considere un lacet c (=courbe fermee parametree) qui tourne autour de l'origine dans C*. L'image par f de ce lacet est un lacet dans C. Mais C n'a pas de "trou" donc tout lacet dans C peut etre contracte continument en un point (lineairement par exemple). Soit d_t, t appartenant a [0,1] une deformation continue dans C de d_0=f(c) en un point d_1. Maintenant exp(d_t) est une deformation continue de exp(d_0)=c en un point. Mais ce n'est pas possible parce que cette deformation reste dans C* et que le lacet c, qui tourne autour de 0, ne peut etre deforme en un point sans passer par 0.

Bien sur tel quel c'est moins rigoureux que ce que tu propose (mais peut-etre plus intuitif?). Ca peut etre rendu rigoureux en introduisant le groupe fondamental ou l'homologie (voir un bouquin de topologie algebrique si tu ne connais pas). Et ce type d'argument, sans faire plus d'effort que ci-dessus, permet de deduire elegamment par exemple le theoreme de D'Alembert sur les polynomes complexes, ou le theoreme du point fixe de Brouwer : toute application continue d'une boule fermee (en tte dimension finie) dans elle-meme a au moins un point fixe.

[invite206bb45f]

un revetement
non trivial ne peut avoir de section

S'il est connexe bien sur.