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30/07/2007 - 14h33 gatsu 
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30/07/2007 - 15h17 indian58
Re : Problème avec une fonction qui tend vers un Dirac
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30/07/2007 - 16h04 gatsu
Re : Problème avec une fonction qui tend vers un Dirac
 Envoyé par indian58  T as essaye avec le TCD? Je dois pas être à jour au niveau abreviation  c'est quoi le TCD ?
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31/07/2007 - 00h11 homotopie
Re : Problème avec une fonction qui tend vers un Dirac
Le TCD est le th. de convergence dominée mais je ne vois pas comment on pourrait l'utiliser ici.
Je peux t'aider à montrer la convergence vers un opérateur colinéaire à l'opérateur de Dirac en 0.
On découpe  }{ x^2 } \phi(x) dx ) en somme de l'intégrale sur  d'une part et sur l'extérieur de cet intervalle d'autre part.
Sur l'extérieur on majore  par M=llll0, sin² par 1, on obtient une majoration impliquant une convergence vers 0 de cette partie si n tend vers 
Sur le compact, on pose  +g ) , cette somme passe à l'intégrale.
La partie avec g on majore g(x) par  , on pose  , on "pousse" les bornes à l'infini, on obtient une majoration par le produit de par une intégrale impropre convergente (indépendante de  et de n). Pour la convergence vers 0, il suffit donc que  tende vers 0* car est continue en zéro (* : n doit tendre vers +infini tandis que n. tend vers 0, ce qui est possible, en posant n=-ln(e) par exemple).
La partie avec  ) se traite comme celle juste avant, mais avec plus de précaution car on ne se contente plus de majorer et donc de justification. En posant , on obtient une limite égale à  \( \frac1{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{sin^2(y)}{y^2} dy \) ) .
Finalement :
 }{ x^2 } \phi(x) dx \) = \phi(0) \( \frac1{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{sin^2(y)}{y^2} dy \) )
""Reste"" à montrer que }{y^2} dy=\pi )
Pour ce dernier point je n'ai pas d'idée, le théorème des résidus ne me semble pas adapté mais je peux me tromper.
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31/07/2007 - 09h28 indian58
Re : Problème avec une fonction qui tend vers un Dirac
Si si, avec le th des residus, ca marche.
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01/08/2007 - 11h35 homotopie
Re : Problème avec une fonction qui tend vers un Dirac
Envoyé par indian58 Si si, avec le th des residus, ca marche. Tu peux préciser STP car en l'état la fonction (son extension à C pour être plus précis) que l'on intègre est holomorphe sur C (son seul pôle pourrait être 0 mais il est évident que celui-ci n'en est pas un).
Après transformation :
intégration par parties u'=1/y² v=sin²(y), puis changement de variable z=2y donne (on coupe l'intégrale en deux sur 0,+inf, puis on repasse à inf,+inf)
}{y^2} dy= \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{sin(2y)}{y} dy = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{sin(z)}{z} dz )
C'est original, je ne pense pas que cela arrive souvent que l'intégrale d'une fonction soit égal à l'intégrale de son carré mais c'est toujours aussi holomorphe.
Cela permet de transformer l'intégrale éventuellement mais je n'ai débouché sur rien de calculable (en tout cas par moi).
Après le changement de variable (dans l'intégrale originale) x=1/y (en découpant encore le domaine d'intégration)
}{y^2} dy= \int_{-\infty}^{+\infty} sin ( \frac1{x^2}) dx )
Celle-ci est holomorphe sur C\{0}, son intégrale sur un demi-cercle centré en 0 dont le rayon tend vers l'infini converge vers 0, mais on ne peut appliquer le théorème des résidus directement car l'intégrale sur un petit demi-cercle centré en 0 ne tend pas vers 0. ce que l'on a c'est que notre intégrale est égale à la limite quand r tend vers 0 de l'intégrale sur ce demi-cercle (mais je ne sais pas plus la calculer), on peut aussi prendre d'autre contour (j'ai cherché avec un rectangle infiniment mince en partie réele et infiniment long en imaginaire pur mais pas plus de succés sur le calcul de la limite).
Bref, pour ma part je n'y arrive pas alors si tu as une idée ne te gène pas. 
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01/08/2007 - 13h54 indian58
Re : Problème avec une fonction qui tend vers un Dirac
tu ecris sin(x) = 1/2i ( eix - e-ix) . Tu separes l'integrale en deux. Et tu appliques le th des residus avec un chemin constitue d'un demi-cercle de rayon R de diametre l axe des abscisses et de rayon R , d'un toutpetit demi-cercle de rayon epsilon autour de 0 et de deux segments joignants les cercles.
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01/08/2007 - 15h39 homotopie
Re : Problème avec une fonction qui tend vers un Dirac
Envoyé par indian58 tu ecris sin(x) = 1/2i ( eix - e-ix) . Tu separes l'integrale en deux. Et tu appliques le th des residus avec un chemin constitue d'un demi-cercle de rayon R de diametre l axe des abscisses et de rayon R , d'un toutpetit demi-cercle de rayon epsilon autour de 0 et de deux segments joignants les cercles. Ce qu tu me dis là, c'est une des formes de la technique classique de l'application du théorème des résidus pour le calcul des intégrales réelles impropres. Mais encore faut-il pouvoir calculer les limutes des intégrales sur le petit et le grand cercle.
Pour une des 3 formes de l'intégrale ci-dessus, tu arrives à maitriser les 2 intégrales sur les cercles ? Pour ma part, je n'aboutis au calcul qu'un sur deux pour chacune de ces formes.
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02/08/2007 - 15h31 gatsu
Re : Problème avec une fonction qui tend vers un Dirac
Envoyé par homotopie Tu peux préciser STP car en l'état la fonction (son extension à C pour être plus précis) que l'on intègre est holomorphe sur C (son seul pôle pourrait être 0 mais il est évident que celui-ci n'en est pas un).
Après transformation :
intégration par parties u'=1/y² v=sin²(y), puis changement de variable z=2y donne (on coupe l'intégrale en deux sur 0,+inf, puis on repasse à inf,+inf)
C'est original, je ne pense pas que cela arrive souvent que l'intégrale d'une fonction soit égal à l'intégrale de son carré mais c'est toujours aussi holomorphe.
Cela permet de transformer l'intégrale éventuellement mais je n'ai débouché sur rien de calculable (en tout cas par moi).
Bref, pour ma part je n'y arrive pas alors si tu as une idée ne te gène pas. Merci pour ce raisonnement je n'y avais pas pensé, j'étais bloqué sur le calcul des intégrales de contours en faisant le calcul directement sur }{x^2} ) où, je n'explique pas pourquoi, lorsque j'applique des méthodes qui selon moi marchent, ça ne marche pas...
Ce qu tu me dis là, c'est une des formes de la technique classique de l'application du théorème des résidus pour le calcul des intégrales réelles impropres. Mais encore faut-il pouvoir calculer les limutes des intégrales sur le petit et le grand cercle.
Pour une des 3 formes de l'intégrale ci-dessus, tu arrives à maitriser les 2 intégrales sur les cercles ? Pour ma part, je n'aboutis au calcul qu'un sur deux pour chacune de ces formes.
On doit cacluler :
 \equiv \Im\mathcal{m}(I) )
On étend l'intégrale au domaine complexe et on définit :
où  est un contours dans la partie supérieure du plan complexe (important) constitué d'un demi cercle de rayon  qui tend à l'infini et d'un petit cercle de rayon  qui tend à zéro pour éviter le pole en zéro comme vous avez fait en fait.
Ensuite on peut écrire :
}\frac{e^{iz}}{ z}dz + \int_{\Gamma(r)}\frac{e^{iz}}{ z}dz )
On s'occupe tout d'abord du deuxième terme :
}\frac{e^{iz}}{z}dz &=& \lim_{R \rightarrow \infty} \int_0^{\pi}\frac{e^{iRe^{i\ph i}}}{Re^{i\phi}}iRe^{i\phi}d\p hi \nonumber \\ &=&\lim_{R \rightarrow \infty} \int_0^{\pi}e^{iRe^{i\phi}} id\phi \nonumber \\&=& \lim_{R \rightarrow \infty} \int_0^{\pi}e^{iR\cos(\phi)}e^ {-R\sin(\phi)} id\phi \rightarrow 0,\:\phi\:\in\left[0,\pi\right]\nonumber \end{eqnarray} )
Ensuite pour le troisième terme, on a :
}\frac{e^{iz}}{z}dz &=& \lim_{r \rightarrow 0} \int_{\pi}^0\frac{e^{ire^{i\ph i}}}{re^{i\phi}}ire^{i\phi}d \phi \nonumber \\ &=& \lim_{r \rightarrow 0} \int_{\pi}^0e^{ire^{i\phi}} i d \phi \nonumber \\ & =& \lim_{r \rightarrow 0} \int_{\pi}^0\left(1+ire^{i\phi }+o(r^2)\right) i d \phi \nonumber \\ &=& -i \pi \nonumber \end{eqnarray} )
Or,  (car  ne contient pas de pôle en son intérieur) et on a donc :
Ce qui donne  = \pi )
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02/08/2007 - 22h09 homotopie
Re : Problème avec une fonction qui tend vers un Dirac
Je n'ai pas assez exploité la simplification en sin(z)/z. Ca marche pour celle-ci en effet.
Bon ben voilà c'est fait.
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03/08/2007 - 07h42 gatsu
Re : Problème avec une fonction qui tend vers un Dirac
Envoyé par homotopie Je n'ai pas assez exploité la simplification en sin(z)/z. Ca marche pour celle-ci en effet.
Bon ben voilà c'est fait. En tout cas merci pour votre aide à tous !
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03/08/2007 - 08h53 indian58
Re : Problème avec une fonction qui tend vers un Dirac
Envoyé par gatsu Merci pour ce raisonnement je n'y avais pas pensé, j'étais bloqué sur le calcul des intégrales de contours en faisant le calcul directement sur où, je n'explique pas pourquoi, lorsque j'applique des méthodes qui selon moi marchent, ça ne marche pas...
On doit cacluler :
On étend l'intégrale au domaine complexe et on définit :
où est un contours dans la partie supérieure du plan complexe (important) constitué d'un demi cercle de rayon qui tend à l'infini et d'un petit cercle de rayon qui tend à zéro pour éviter le pole en zéro comme vous avez fait en fait.
Ensuite on peut écrire :
On s'occupe tout d'abord du deuxième terme :
Ensuite pour le troisième terme, on a :
Or, (car ne contient pas de pôle en son intérieur) et on a donc :
Ce qui donne C'est ce que je comptais poster!
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08/08/2007 - 09h53 Rammstein43
Re : Problème avec une fonction qui tend vers un Dirac
C'est quoi le "o barré" ? En Mathématiques ? 
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08/08/2007 - 09h57 Seirios
Re : Problème avec une fonction qui tend vers un Dirac
Celui-ci  ? (l'expression "o barré" fait un peu bizarre comme expression...)
Quand nous naissons, nous pleurons d'être venus sur cette grande scène de fous.
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08/08/2007 - 10h01 Rammstein43
Re : Problème avec une fonction qui tend vers un Dirac
Le premier symbole. Mince ! Je fais une autre fenetre.
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