Différences finies et erreur de consistance

[invite3799b2e8]

Bonjour,

On veut approximer par différences finies le problème suivant (conditions de type Neumann):

trouver u : [0,1] --> R solution de :

x dans ]0,1[
,

On utilise le schéma à 3 points pour la dérivée seconde, l'approximation de u'(0) par et u'(1) par

Je ne comprends pas pourquoi l'erreur de consistance du schéma global est en O(h) ?
Quand on veut approximer ce même modèle mais avec les conditions , on a l'erreur de consistance du schéma global en O(h²), mais qu'est ce qui faut qu'ici on "passe" à une erreur en O(h) ?

Merci
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[invite01564206]

Bonjour,
un peu tard je suppose pour la réponse mais au cas où quelqu'un d'autre se pose la même question ...
La raison pour laquelle on perd un ordre (de à ) est que justement les approximations de u'(0) et u'(1) ont été faites à l'ordre 1 en h. En effet,

et idem pour l'autre bout de l'intervalle.
Il est possible de conserver l'ordre deux, à condition de discrétiser les dérivées avec une différence finie centrée : pour u'(0) :

Problème : u(-h) est en dehors de l'intervalle [0,1]. On rajoute donc le "point fictif" -h et on élimine l'inconnue u(-h) en discrétisant l'équation en 0 (alors que dans la méthode d'ordre 1 on ne la discrétise que de h à 1-h par pas de h.
En x=0 on a

et on élimine u(-h) grâce à la condition ci-dessus :
On a alors un système d'inconnues u(0) u(h)... u(1-h) u(1) à résoudre.

A+

PS : t'es sûr que c'est pas -u'' dans l'équation au lieu de u'', si c est positif ?