Approximation d'un cercle au sens des moindres carrés

[invite52c2e743]

bonjour, j'ai un petit soucis pour traiter des valeurs et demande votre aide.
J'ai un tableau de valeurs (x;y) associé à une courbe f(x) en forme d'ogive (une courbe qui par symétrie me donne une ogive). A partir de ces données je veux obtenir un arc de cercle qui approche au sens des moindres carrés l'ensemble de ces points, sachant que le rayon est donc mon inconnu que je souhaite déterminer.
j'ai commencé par quelque chose de la forme y=a+bx+cx² mais je trouves des valeurs abérantes et me dit que c'est cette équation de départ qui me mets dans l'erreur.
merci d'avance
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[Coincoin]

Salut,
Tu connais le centre de ton cercle ou bien c'est aussi un paramètre ?

Pourquoi mets-tu l'équation d'une parabole si tu veux un cercle ?

[invite52c2e743]

je ne connais que la variable x du centre de mon cercle.
et pour l'équation, je ne voyais pas comment procéder à partir de r²=(x-a)²+(y-b)².
donc à quelle équation je pourrait appliquer le principe des moindres carrés pour obtenir un cercle dont je ne connais pas le rayon ni le centre? c'est là en fait que je n'ai pas la connaissance

[Coincoin]

r²=(x-a)²+(y-b)²

Il suffit de l'écrire sous la forme

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite52c2e743]

Ca, c'est bon je sais... le soucis c'est apres, comment on résou avec une racine carré?
y=b^(+/-)(r²-(tx-a)²)^1/2
est-ce que ça donne:
^TAA a₀ = ^TAB
avec a₀= (b r² t a) [c'est une matrice d'une colonne et non d'une ligne]
A (1 1 x₁ 1) [matrice en 4 par i]
(1 1 x₂ 1)
(. . . .)
(1 1 x_i 1)

B (y_i) [matrice en colone]
ça me semble bizar


désolé pour la présentation

[invite52c2e743]

j'abouti a rien avec l'équation de coincoin, je me retrouve avec une équation à deux inconnues!!!! haaaaa! personne ne pourrait me sortir la matrice ou l'équation de départ?

[mécano41]

Bonjour,

J'avais donné là une solution qui semble convenir :

http://forums.futura-sciences.com/sh...ght=m%E9cano41

Je te donne l'application EXCEL correspondante. Regarde si cela te convient.

Cordialement

[CM63]

Non, tu ne prends pas la racine carrée, tu dérive l'équation du cercle, et c'est tout linéaire.

Par ailleurs tu peux virer une inconnue sachant que ton ogive a un axe de symétrie, le centre du cercle s'y trouve.

[invite52c2e743]

Donc je pars de r²=(x-a)²+(y-b)² avec "a" connu puisque sur le plane de symétrie de mon ogive. Tu me dis de dériver, je dérive deux fois, par rapport à x puis y. Ensuite je fais mon système linéaire avec les moindres carrés et après j'intègre deux fois aussi pour revenir à quelque chose d'exploitable. J'ai bon?

Mécano41 sympa pour le fichier mais je cherche justement le rayon et le centre de mon cercle donc il ne répond pas à ce que je veux. merci quand même.

[mécano41]

C'est justement ce que fait l'application. Là, j'ai mis les coordonnées de 10 points dans les cellules jaunes. Je fais : outil/solveur/résoudre:garder la solution. Il me rend le rayon et les coordonnées du centre dans les cellules vertes. Où alors c'est que je n'ai pas compris ce que tu cherches...

Cordialement

[mécano41]

J'ai oublié : si tu as moins de 10 points, ne t'embête pas à modifier, tu mets plusieurs fois les mêmes coordonnées. Si tu as plus de 10 points, là il faut modifier. Dis-le, si tu veux je le ferai.

Cordialement

[invite52c2e743]

ok et pour plus de 10 points y'a quoi à modifier?

[mécano41]

Il faut insérer des cellules ou des lignes dans le tableau comportant les cellules jaunes (avant la dernière ligne pour conserver les sommes et les séries à tracer) puis renuméroter en B et tirer à nouveau les formules vers le bas en E et G. Ensuite, il faut ajouter les contraintes correspondant aux lignes ajoutées dans le solveur (c'est à dire les lignes correspondant aux lignes vides de F).

Si cela ne va pas, donne-moi le nombre de points, je te le ferai (et éventuellement les coordonnées des points afin que je vérifie).

Evidemment, pour ton ogive (si j'ai bien compris) il va falloir traiter en deux fois : la partie gauche puis la partie droite. Tu vas probablement obtenir deux rayons et deux centres légèrement différents si les points ne sont pas symétriques par rapport à l'axe. Peut-être pourrait-t-on modifier pour faire tout d'un seul coup en optimisant les deux côtés ; je n'y ai pas réfléchi mais je crains que ce soit un peu trop compliqué pour le solveur (et peut-être pour moi ).

Cordialement

[invite52c2e743]

alors du coup pour le solveur il fallait qu'y ai un problème... il est pas installé sur mon poste, je vais me débrouiller pour ça.
pour l'ogive y'a pas de soucis, en fait c'est un arc de cercle dont le centre est décalé par rapport à mon axe de symétrie, moi je veux le cercle dont le centre est sur cette axe et qui passe au mieux par les points de l'ogive. Pour info j'ai 151 lignes.

[mécano41]

Si j'ai bien compris :

- tu as 151 points distribués sur un pseudo-cercle
- les points sont de part et d'autre d'un axe de référence, sans symétrie par rapport à celui-ci
- le centre du pseudo-cercle est apparemment décalé par rapport à l'axe
- tu veux optimiser pour trouver un cercle passant au mieux par ces 151 points et dont le centre serait situé sur l'axe de référence

Je vais faire un essai. Le solveur est limité à 200 variables, ça devrait passer même si c'est long à calculer.

Cordialement

[mécano41]

J'ai fait plusieurs essais 150 points, 120 points et 100 points, le solveur n'accepte pas au-delà de 100 points.

Pour 100 points répartis sur un cercle décalé et un rayon varaint selon un mode aléatoire (voir tableau à droite), cela a l'air de fonctionner. Je te joins l'application à toutes fins utiles.

NOTA IMPORTANT : Il faut prendre la précaution d'effacer R et Ya dans les cellules vertes avant de relancer le solveur sinon il peut parfois partir vers une solution aberrante.

Cordialement