Convergence suite aide exo...

[invite149f1bfb]

Bonjour, j'ai effectué un petit exo dont j'ai trouvé une démo peut être un peu tirée par les cheveux (mais rigoureuse...enfin je crois). J'aimerais avoir votre avis concernant une solution plus simple mais surtout rigoureuse.

démontrez: (1)Un converge <=> (2) Vn= U(n+1) - Un converge vers 0

-Pour l'implication de (1) vers (2):

.....
ensuite j'utilise l'inegalite triangulaire et j'obtiens abs(U(n+1)-Un)<=abs(Un+1 - l) + abs(Un - l)<

ce qui montre que Vn converge en 0 (j'ai du mal a ecrire les expressions....^^)

Ensuite pour (2) vers (1) je montre que Un est de cauchy ce qui montre que Un converge...

Y a t il une autre facon de faire?
merci beaucoup.
cordialement. Hakenaton
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[invite9cf21bce]

Salut.

En fait, l'équivalence est fausse. Le fait que converge vers 0 n'entraîne pas que la suite est de Cauchy.

Les contre-exemples classiques : .

Ainsi que : , ^e somme partielle de la série harmonique.

Taar.

[indian58]

Il ne manquerait pas une hypothèse du genre nUn->0 ou encore tu dois montrer que Série des Vn converge?

[invitec053041c]

Bonjour.

Ensuite pour (2) vers (1) je montre que Un est de cauchy ce qui montre que Un converge...

Attention, une suite est de Cauchy si à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite sont aussi proches que l'on veut.
2 termes consécutifs ne suffisent pas, et pour cause, les contre exemples pleuvent (fonction racine carrée, ln comme il a été dit etc...).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite149f1bfb]

Effectivement, je suis vraiment confus car il était stipulé, démontrez si cela est vrai ( ce qui n'est pas le cas); je vous remercie encore.