Remarque sur Polynôme...

[invite149f1bfb]

----soit P(X)=ao+a1X+a2X²+.....+anX^n, à valeurs dans C , ao!=0 alors la somme des inverses des racines du polynome est égale à -a1/a0.-----

je ne sais pas si la conjecture que je fais est juste...Sachant que ça vient entièrement de moi,je doute énormément de la véracité de cette propriété.
Lors d'une démo un flash...

j'ai remarqué pour un polynome du second degré que:
si a et b racines simples du polynome
P(X)=(X-a)(X-b)=X²-(a+b)X+ab et 1/a + 1/b = (a+b)/ab

si a, b et c racines simples du polynome alors
P(X)=(X-a)(X-b)(X-c)=X^3-(a+b+c)X² +(ab+bc+ac)X - abc et 1/a + 1/b + 1/c = (ab+bc+ac)/abc

cela va logiquement réitérer jusqu'au degré n...

Qu'en pensez vous? merci d'en discuter car je n'ai rien trouvé de semblable ailleurs (même mes profs d'université n'en ont pas entendu parler...)

Avec toute ma sympathie.
Hakenaton
-----

[invitedfc9e014]

euh, ma question est peut être idiote mais tu es sensé avoir trouvé quoi?
parce que je ne vois que des déveleppements de polynômes là...

[Gwyddon]

Hello,

Je me demande si cela n'a pas un rapport avec les fonctions symétriques des racines d'un polynôme... Je te suggère de chercher de ce côté

[Médiat]

Gwyddon a parfaitement raison, mais on peut faire cette démonstration élémentairement (c'est plus long à écrire qu'à comprendre ) :
Soit a₀ différent de 0 (donc 0 n'est pas racine du polynôme) et a_n différent de 0 pour avoir un polynôme de degré n
p(X) = a₀ + a₁X + + a_nXⁿ dans , ce polynôme a n racines (éventuellement pas toutes distinctes, mais toutes non nulles), P(X) peut s'écrire :

Quand on développe ce produit, le terme constant est obtenu en choisissant la racine dans chacun des facteurs, on obtient

ou

Le terme en X est obtenu en choisissant X dans l'un des facteurs et la racine dans tous les autres, on obtient

c'est à dire que chaque terme de la somme omet une et une seule des racines

le produit qui est le produit de toutes les racines sauf peut s'écrire (les sont non nuls) :
, ou encore :

on peut donc écrire
on peut factoriser

et finalement :

[A voir en vidéo sur Futura]

[indian58]

Gwyddon et Mediat ont raison. Tu utilises les expressions symétriques élémentaires.

[ericcc]

Pour rester dans la lignée de la démarche heuristique de Hakenaton (...pas fait en ton nom etc. ) je pense qu'une démo par récurrence serait appropriée.
De plus elle est peut être plus facile à comprendre pour ceux qui ne maîtrisent pas trop les formules avec indices de sommation ou de produits.
La formule est vraie pour les polynômes de degré 1,2,3.
Si elle est vraie pour les polynômes de degré n, considérons un polynôme de degré n+1. Il s'écrira (X-a)P(X) où P est de degré n. La propriété est vraie pour P, donc son coefficient en X s'écrit comme la somme des inverses des racines, et son coefficient constant comme le produit des racines multiplié par (-1)^n. Il ne reste plus qu'à faire les deux multiplications.

[invite149f1bfb]

tout est clair merci bien à media et ericc. C'est bien joli la démo mais tout bête en fait. Elle va pouvoir me servir pour démontrer la démo de l'identité d'euler où somme de 1 a infinie des 1/i² = pi²/6 . toutefois bizarre que nous n'ayons pas vu cette propriété en cours
cordialement.
Hakenaton