Existence et unicité

[invitee619f7a1]

Bonjour à tous...

je me retrouve devant un petit problème de math qui em fait coincer....

La première partie de ce problème consiste à trouver une fonction g telle que :
- la fonction g est continue
- elle prend la valeur 1 au point 0
- si x est augmenté de 1 alors g(x) est multiplié par deux
- si x est multiplié par m, alors g(x) est élevé à la puissance m pour tout m app à N.

J'ai trouvé que cette fonction g est définie par g(x) = 2^x ce qui remplit les conditions

Mais la seconde partie du problème me demande ceci :

Concernant la fonction g, les règles d'arithmétique déterminent les valeurs de g(z) dans le cas où z est rationnel. Vous avez reconnu ces valeurs dans al première partie du problème. cela étant, comment utilisez vous le fait que g est continue pour montrer que votre réponse ( la fonction g) est la seule possible ?

Et là je bloque... je ne vois pas comment partir de la définition de la continuité pour prouver que cette fonction g est la seule qui remplit les conditions...

Merci pour votre aide !
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[Deeprod]

Maintenant que tu as prouvé l'existence, pour prouver l'unicité, l'un des methodes classiques est de supposer une fonction g' qui verifie les conditions et de montrer que g'(x) = 2^x.
Pour cela, une autre façon classique de le faire est d'étudier la diffèrence, et de montrer qu'elle nulle.

Tu peux peut être revenir aussi à la définition de 2^x, qui est : exp(2*ln(x))

[invitee619f7a1]

Désolé mais je ne vois pas clairement où tu veux en venir...comment ej pourrais supposer une fonction g' qui vérifie les mêmes conditions sans la définir et ensuite en faire al différence avec la première que j'ai déjà définie...

merci !

[Deeprod]

c'est normal que tu ne puisse pas la "définir" algebriquement puisque c'est ce que tu recherche. Tu sais que g' est continue, donc 2^x - g'(x) est continue. Voila par exemple un maniere de transmettre tes hypotheses. Tu transcrit toutes tes hypothese tu peux peut etre y arriver.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deeprod]

Personnelement, je trouve le résultat avec la méthode que j'ai proposé

[invite35452583]

Précisons ce qui a été proposé par Deeprod
Tu veux montrer que g est unique vérifiant ces propriétés. Tu fais un raisonnement par l'absurde, si g n'est pas unique (or il en existe déjà une) alors il en existe au moins deux g et g'. Si tu arrives à montrer que g=g' en partant des propriétés connues de g et g' alors g=g' tu aboutis à une contradiction. g' tu ne la connais pas entièrement mais tu en connais des propriétés.

Maintenant un indice pour utiliser l'hypothèse de continuité :
si une fonction f continue en 0 vérifie f(1/n)=0 pour tout entier n combien vaut f(0)?

[invitee619f7a1]

Je cherche mais toujours pas de réponse claire... si un de vous sait me montrer tout son raisonnement ca serait bien parce que j'avoue que je reste un peu dans le vague...

Merci !

[ericcc]

Précisons ce qui a été proposé par Deeprod
Tu veux montrer que g est unique vérifiant ces propriétés. Tu fais un raisonnement par l'absurde, si g n'est pas unique (or il en existe déjà une) alors il en existe au moins deux g et g'. Si tu arrives à montrer que g=g' en partant des propriétés connues de g et g' alors g=g' tu aboutis à une contradiction. g' tu ne la connais pas entièrement mais tu en connais des propriétés.

Maintenant un indice pour utiliser l'hypothèse de continuité :
si une fonction f continue en 0 vérifie f(1/n)=0 pour tout entier n combien vaut f(0)?

Un peu de pinaillage homotopie : le raisonnement par l'absurde n'est pas nécessaire ici. On peut commencer le raisonnement sans supposer que g' est différent de g. Ainsi on évite de passer par le tiers exclu.
Voici la légère modification que je vois : suppose que g' vérifie les mêmes propriétés que g. On en déduit g'=g. Donc g est unique. On n'a pas besoin de faire apparaître une contradiction.
Ou me trompé-je ?