complexe cercle

lyre · 01/10/2007 - 18h12

bonjour
bon voila j'ai petit probleme avec un exercice sur les complexes

soit U un cercle de centre O et de rayon 1
soit x =/= i (=/= pour different)
montrer que (1+ix)/(1-ix) € U <==> x € R (€ = appartient)

je sais pas du tout comment faire...

merci d'avance

lyre

Gwyddon · 01/10/2007 - 18h25

Bonjour,

Ça veut dire quoi pour un complexe Z d'être sur le cercle de centre O et de rayon 1 ? Connais-tu la représentation trigonométrique d'un complexe ?

lyre · 01/10/2007 - 18h58

oui je sais ce que c'est ^^ merci je vais chercher de ce coté la

homotopie · 01/10/2007 - 19h37

Cette voie marche peut-être mais est inutilement calculatoire.
Pour un complexe z être dans U est équivalent à lxl=1 autrement dit $z\overline{z}=1$
Pour un complexe x être réel équivaut à $\overline{x}=x$
Ces deux caractérisations permettent de se soulager en calcul.

lyre · 01/10/2007 - 20h34

oki merci beaucoup pour ces indications ^^

lyre · 01/10/2007 - 21h49

(1+ix)/(1-ix) = (1-x²+2ix)/(1+x²) = (1-x²)/(1+x²) + i(2x)/(1+x²)
or cos(o)=(1-x²)/(1+x²) et sin(o)=(2x)/(1+x²)
d'ou (1+ix)/(1-ix) = cos(o)+isin(o) = e^ix

je pense pas que ca marche parcequ'il est precisé que ces deux formules marche pour x=tan(o/2)
mais je vois rien d'autre donc...

bongo1981 · 02/10/2007 - 10h08

et si tu calculais plutôt comme suggéré plus haut :
$(\frac{1+\imath x}{1-\imath x})(\overline{\frac{1+\imath x}{1-\imath x}})$

lyre · 02/10/2007 - 11h03

$(\frac{1+\imath x}{1-\imath x})(\overline{\frac{1+\imath x}{1-\imath x}})$

==> $(\frac{1+\imath x}{1-\imath x})(\frac{1-\imath x}{1+\imath x}})$

==> 1

or on sait que Z appartient a U si $\overline{Z}Z=1$

c'est tout??

homotopie · 02/10/2007 - 12h55

Envoyé par lyre

c'est tout??

Non car en toute généralité $\overline{1+ix}=1-i\overline{x}$ et n'est égal à 1-ix que si x est réel.
Ce que tu as fait n'est pas inutile, mais doit être repris ainsi :
Soit x réel, on a

Envoyé par lyre

$(\frac{1+\imath x}{1-\imath x})(\overline{\frac{1+\imath x}{1-\imath x}})$
= $(\frac{1+\imath x}{1-\imath x})(\frac{1-\imath x}{1+\imath x}})$
= 1
or on sait que Z appartient a U si $\overline{Z}Z=1$

Donc si x est réel (1+ix)/(1-ix) appartient à U. Je me suis permis de virer les => intempestifs ici)
Maintenant, il faut montrer l'autre implication
1ère méthode :
Soit x complexe tel que $(\frac{1+\imath x}{1-\imath x})(\overline{\frac{1+\imath x}{1-\imath x}})=1$
Or, $(\frac{1+\imath x}{1-\imath x})(\overline{\frac{1+\imath x}{1-\imath x}})=(\frac{1+\imath x}{1-\imath x})\frac{1-i\overline{x}}{1+i\overline{x} }$
D'où $(\frac{1+\imath x}{1-\imath x})\frac{1-i\overline{x}}{1+i\overline{x} }=1$
On manipule un peu et on aboutit à $\overline{x}=x$
2ème méthode pour info (plus élégante mais demandant plus de théorie préalable) :
x->(1+ix)/(1-ix) est une homographie qui envoie la droite réelle sur le cercle U donc l'image réciproque de U est R ce qui montre l'autre implication.