Bijection

[invitec859637e]

Salut à tous !

Je me posais la question suivante, qui parait toute bête (mais justement je me méfie ) :
Soient A et B deux ensembles quelconques. S'il existe une injection de A dans B et une injection de B dans A existe-t-il une bijection entre A et B ?

Avec un ami on a cherché un petit moment cette après-midi sans trouver grand chose ...
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[invitec053041c]

Bonsoir.

La réponse est oui. Si les 2 ensembles sont finis, cela se montre assez rapidement.
En revanche, pour des ensembles quelconques (dans le cas général), il est normal que vous ayez cherché très longtemps pour une démonstration générale, car cela fait l'objet d'un théorème: le théorème de Cantor-Bernstein.

Et il n'est pas du tout trivial à démontrer ; il faut utiliser une technique de "rebondissements" entre les 2 ensembles, je ne saurais la faire de tête sans revoir la démonstration plusieurs fois !


Si cela t'intéresse, va voir ceci:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...ntor-Bernstein


Cordialement.

[invitec859637e]

Si les 2 ensembles sont finis, cela se montre assez rapidement.

Oui, ça ça va quand même, je t'en prie

Ok, ça me rassure alors.
Merci pour le lien, je vais regarder ça

[Theyggdrazil]

J'ouvre d'ailleurs une petite parenthèse assez intéressante, sous certaines conditions, le théorème de Cantor-Bernstein se généralise à d'autres relations d'équivalence que l'équipotence :

Soit une relation d'équivalence dans l'ensemble des parties d'un ensemble quelconque X vérifiant les conditions suivantes :

1) Si A B, il existe une bijection telle que pour tout sous-ensemble C de A.

2) Si et , et si , alors .

Dans ce cas, si A est équivalent à une partie de B et si B est équivalent à une partie de A$, alors A est équivalent à B (modulo ).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Theyggdrazil]

D'ailleurs, ce théorème plus général est (bizarrement !) plus facile à montrer que Cantor-Bernstein (qui en est un corollaire presque direct !) à mon goût ^^

Edit : je vais me pendre, tout ce que j'ai dit est sur la page wikipédia :S désolé, ça m'apprendre à lire les liens jusqu'au bout