intégrale et convergence

[legos]

Bonjour à tous,
je fais appel à vous car j'ai un exo que j'ai du mal à résoudre et j'espère que vous pourrez m'aider. Donc voila mon problème :
je dois montrer que l'intégrale généralisée / (ln(x²+t²)/(x²+1))dx
/[0;+inf[
est convergente en comparant l'intégrant à (1/x^(3/2)) .
A vrai dire je ne vois pas comment commencer, j'étais parti de ln(x²+t²)>= 2 lnx et ln x < x^(1/p) pour p>1 mais je crois être parti dans une impasse.

Merci =)

[Rouliane]

Bonjour,

Tu peux montrer qu'au voisinage de +oo, .

et

Tu conclues avec les théorèmes de comparaisons.

Y'a peut-etre aussi un problème au voisinage de 0 suivant les valeurs que peut prendre t ( mais j'imagine qu'il est strictement positif ? )

[legos]

Merci de ta réponse Rouliane,
Mais excuse moi, je ne comprend pas la notation "o =".
Sinon, oui t est strictement positif.

[Rouliane]

C'est le "petit o".

on a f=o(g) si lim(f/g)=0.

Et on a un théorème qui dit que si f et g sont à valeurs positives, et au point a, f=o(g) et g intégrable en a alors f intégrable en a.

[legos]

Ok, mais il y a plusieurs points que je comprend pas
1. je ne comprend pas très bien l'utilité de démontrer l'expression
ln(x²)/x² =o 1/x^(3/2), qu'est ce que le résultat va-t-il amener à conclure.
2.Ensuite, tu dis, je cite "Tu conclues avec les théorèmes de comparaisons", là je ne vois pas très bien comment procéder justement, je pensais à la base partir d'une inéquation genre lnx²<x² mais ça m'amène dans un cul de sac :/.
Donc voilà, j'espère que tu pourras répondre à mes questions.
merci

[Rouliane]

N'oublie pas la valeur absolue autour du ln !

Vu que x --> 1/x^(3/2) est intégrable au voisinage de +oo, alors d'après les théorèmes de comparaison, x--> |ln(x²)/x²| est intégrable au voisinage de +oo, et par suite |f| l'est donc f l'est .
Il suffit de connaitre le théorème de comparaison avec les "petits o".

[ericcc]

Tu sais qu'à l'infini 1/x^a est intégrable si a>1, donc tu cherches à montrer que ta fonction est inférieure à 1/x^a à l'infini
Tu as ln(x²+t²)/(x²+1), qui est équivalente à 2ln(x)/x². Il suffit de montrer que ln(x)<rac(x) à l'infini...

[Rouliane]

Oui effectviement s'il a pas vu les petit o c'est mieux qu'il fasse comme ça.

[legos]

Ok merci, Il y a aussi le coefficient 2 qui n'apparait pas dans l'inéquation, comment puis-je faire?
merci

[Rouliane]

Le 2 est là et ne change rien.

ps : c'est une inégalité, pas une inéquation.