Bonjour à tous, je plenche sur une démonstration niveau TS. Voici l'ennoncé :
Je ne vous demande pas de me le faire, juste de m'aider un peu, m'aiguiller ... Je precise que la demonstration ne doit pas etre intuitive mais absolue (il faut demontrer par analyse).Soit f une fonction continue sur [0;1] telle que f(0)=1 et f(1)=0.
Démontrez qu'il existe au moins un point fixe sur [0;1].
Merci.
--Yankel Scialom
Salut,
Je ne vois pas trop : f est une fonction continue sur [0;1] signifie qu'elle est dérivable sur [0;1]. Il doit falloir s'en servir mais je ne vois pas comment...
Ensuite, un point fixe x est tel que f(x) = x c'est-à-dire que c'est le point d'intersection de la première bissectrice et de la courbe représentative de f.
salut
essaie d'utiliser la fonction h tq h(x)=f(x)-x
( valeur en 0, valeur en 1, conclusions ...)
[QUOTE=Antikhippe]Salut,
f est une fonction continue sur [0;1] signifie qu'elle est dérivable sur [0;1].
c'est faux.... si f est dérivable sur I, alors f est continue sur I, mais la réciproque est fausse. Par exemple la fonction valeur absolue est continue sur R et non derivable en 0..
mais pas besoin de derivabilite dans cet exo.
faut aussi utiliser le théoreme des valeurs intermédiaire
Exact merci a tous.Envoyé par penelope
salut
essaie d'utiliser la fonction h tq h(x)=f(x)-x
( valeur en 0, valeur en 1, conclusions ...)
Soit h : x |--> f(x) - x
comme f(0) = 1 et f(1) = 0, h(0) = 1-0 = 1 et h(1) = 0 - 1 = -1
Deplus, f et x |--> -x sont continues, d'ou h, la somme de ces deux fonctions est cntinue.
h est donc une fonction continue vérifiant h(0) = 1 et h(1) = -1
Il existe donc au moins une valeur de x telle que h(x) = 0 <=> f(x)-x = 0 <=> f(x) = x CQFD
--Yankel Scialom
Salut,
Essaie de faire un dessin! Peux-tu tracer cette fonction sans qu'elle ne coupe la droite y=x?
Pour une démonstration, quels sont les outils dont tu disposes(continuité, théorème des valeurs intermédiaires, ou autres)?
Je l'ai bien entendu pensé, mais ca ne peut etre une demonstration.
--Yankel Scialom
Je crois que nos posts se sont croisés...
en effet
--Yankel Scialom
Supposons donc connu le théorème des valeurs intermédiaires cher à prgasp77
Le problème revient à étudier l'intersection de f et de la bissectrice g: x->x. En posant h=f-g, on doit pouvoir lui appliquer le "TVI"...
f et g sont deux fonctions continues sur [0;1]
f l'est de (0;1) à (1;0)
g l'est de (0;0) à (1,1)
S'il n'existait pas de point d'intersection (si elles ne se croisaient pas), ... (pas si évident que ça)
Shokin
Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
c'est le même problème,
en posant cette fois-ci h=f-g
