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inverse d'une fonction complexe

  1. macally

    Date d'inscription
    octobre 2007
    Messages
    77

    inverse d'une fonction complexe

    bonjour,

    Soit l'application f: C\{-1} --> C
    z-->(z-i)/(z+i)

    j'ai trouver que l'application etait bijective, donc maitenant je peut chercher son inverse par f de D {Z appartient à C||Z|<1}

    il faut que j'utilise 1-|f(z)|²à l'aide de |z+i| et IM(z).

    le souci c'est que je ne vois pas comment faire?


     


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  2. indian58

    Date d'inscription
    juin 2005
    Âge
    28
    Messages
    1 932

    Re : inverse d'une fonction complexe

    Z = (z-i)/(z+i) donc z = (i+Z)/(1-Z)
     

  3. macally

    Date d'inscription
    octobre 2007
    Messages
    77

    Re : inverse d'une fonction complexe

    oui j'ai trouvé ça mais c'esy apres ce que j'en fait?
    parceque je n'est pas utilisé la pariti imaginaire ni 1-|f(z)|²
     

  4. Ksilver

    Date d'inscription
    novembre 2005
    Âge
    27
    Messages
    1 888

    Re : inverse d'une fonction complexe

    la phrase que tu as écrit veut pas dire grand chose...

    est-ce que tu dois trouver f^(-1)(D) ? ou on a posé D={z dans C | |z|<1}

    as tu calculé 1-|f(z)|² ?
     

  5. macally

    Date d'inscription
    octobre 2007
    Messages
    77

    Re : inverse d'une fonction complexe

    on a posé D={Z dans C |Z |<1}

    et mon calcul de 1-|f(z)|² me donne

    en posant z= a+ib
    [a²(a²+2)+b²(b²-2)+2a²b²+1]/[ a²+b²+2b+1]
     


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  6. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
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    64
    Messages
    12 354

    Re : inverse d'une fonction complexe

    Citation Envoyé par indian58 Voir le message
    Z = (z-i)/(z+i) donc z = (i+Z)/(1-Z)
    Décidément nous ne sommes pas d'accord en ce moment , je trouve z = i(1+Z)/(1-Z).
    Tu peux vérifier facilement que quand z = 0, Z = -1 (et non -i).
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  7. Ksilver

    Date d'inscription
    novembre 2005
    Âge
    27
    Messages
    1 888

    Re : inverse d'une fonction complexe

    C'est rarement une bonne idée de poser z=a+ib. il est en géneral beaucoup plus intelligent de travailler avec z et son conjugé. je vais noter z* le conjugé de z...

    |f(z)|² = f(z)f(z)* = (z*+i)(z-i)/(z*-i)(z+i) = (zz*+iz-iz*+1)/(zz*-iz+iz*+1)

    donc 1-|f(z)|² = -2i(z-z*)/(zz*-iz+iz*+1) = 4*Im(z)/|z+i|² sauf erreur.


    mais tu m'as toujours pas dit ce qui était demandé ? s'agit-il de calculer l'image réciproque de D par f ?
     

  8. macally

    Date d'inscription
    octobre 2007
    Messages
    77

    Re : inverse d'une fonction complexe

    en fait ce qui est demande c'est

    quelle est l'image réciproqie par f de D { Z appartien à C |Z|<1}?
    indication: exprimer 1-|f(z)|² à l'aide de |z+i| et Im(z)

    et ensuite

    Quelle est l'image directe de f du cercle de centre Ω=(2,0) et de rayon r=2?
     

  9. Ksilver

    Date d'inscription
    novembre 2005
    Âge
    27
    Messages
    1 888

    Re : inverse d'une fonction complexe

    bon ok

    l'imge réciproque dD par f, c'est l'ensemble des point z telle que |f(z| <1, ie telle que 1-|f(z)|² =4Im(z)/|z+i|² >0

    tu voit ce que cela donne ?
     

  10. macally

    Date d'inscription
    octobre 2007
    Messages
    77

    Re : inverse d'une fonction complexe

    oui tu as raison Médiat, j'ai mal tape car sur ma feuille j'ai la meme chose
     

  11. indian58

    Date d'inscription
    juin 2005
    Âge
    28
    Messages
    1 932

    Re : inverse d'une fonction complexe

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Décidément nous ne sommes pas d'accord en ce moment , je trouve z = i(1+Z)/(1-Z).
    Tu peux vérifier facilement que quand z = 0, Z = -1 (et non -i).
    Oups, au temps pour moi!
     

  12. macally

    Date d'inscription
    octobre 2007
    Messages
    77

    Re : inverse d'une fonction complexe

    merci Ksilver, mais geometriquement quesce que ça donne?
     

  13. Ksilver

    Date d'inscription
    novembre 2005
    Âge
    27
    Messages
    1 888

    Re : inverse d'une fonction complexe

    ba l'ensemble des point ou 4*Im(z)/|z+i|²>0 ca te dit rien ?

    ... remarque que |z+i|² c'est quand meme toujours positif...
     

  14. macally

    Date d'inscription
    octobre 2007
    Messages
    77

    Re : inverse d'une fonction complexe

    dsl j'avais pas vu que tu m'avais repondu, mais sinon je ça ne me dis rien tt tt parceque j'arrive po a me representé ce ke c im(z)
     

  15. Ksilver

    Date d'inscription
    novembre 2005
    Âge
    27
    Messages
    1 888

    Re : inverse d'une fonction complexe

    et bien, si tu vois z comme un point du plan, alors Re(Z) et Im(z) sont ces coordonés !
    et ici ce que tois trouver c'est l'ensemble des point telle que Im(z)>0.
     


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