Application, injection et surjection

[sperca]

Bonsoir à tous,

Voilà j'ai un exercice qui concerne les applications, dans un premier temps on me donne l'application suivante :


A partir de là on me demande de déterminer f(D) où D est une droite tel que D={(x,y) appartient à R^2; y=x-1}.
Donc à partir de là je me suis dit on me donne y et on me demande de chercher l'application de D par f, je remplace y par sa valeur. Je me retrouve alors avec f(D) = (2x-1;4x-2), je n'en suis pas sûr du tout car je n'ai pas encore eu l'occasion de faire des exercices dans ce genre.

Et dans la qestion suivante on me demande de montrer que la réciproque de f (1;1) est égale à l'ensemble vide. Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer ce que cela signifie ?

Merci beaucoup.

Sperca

[indian58]

1) effectivement, si M(x,y) est sur D, f(M) = f(x,y) = f(x,x-1) = (x-1,2x-2). Après, tu fais varier x (qui prend toutes les valeurs réelles) et tu obtiens quoi comme ensemble?

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{(x-1,2x-2), x R} = { (1,2) *(x-1) , x R}. Donc, c'est une droite de vecteur (1,2) passant par l'origine).

2) Tu dois en fait montrer qu'il n'existe pas de (x,y) tel que f(x,y) = (1,1).

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Si celà était vrai, il existe (x,y) tel que x+y=1 et 2x+2y=1. Donc x+y=1 et x+y=1/2. C'est absurde!

[sperca]

Merci pour ta réponse,

Alors en fait la question 1, je ne vois toujours pas comment tu fais, on me donne une droite D d'une fonction simple, tu te retrouves avec f(x,x+1) et donc il n'y a plus de y, Alors que dans la fonction f il y en a. Donc ici je bloque.

En revanche la question oui j'ai compris, merci beaucoup.

Et donc vu que la fonction f n'admet pas d'antécédents en (1,1), elle est donc injective et elle n'est pas surjective car en (1,1) elle n'admet pas d'antécédents, c'est ça ?

Merci beaucoup.

Sperca

[Syracuse_66]

tu te retrouves avec f(x,x+1) et donc il n'y a plus de y, Alors que dans la fonction f il y en a. Donc ici je bloque.

On étudie ici des couples de points (x,y). Indian58 a simplement remplacé y par sa valeur.

Et donc vu que la fonction f n'admet pas d'antécédents en (1,1), elle est donc injective et elle n'est pas surjective car en (1,1) elle n'admet pas d'antécédents, c'est ça ?

Merci beaucoup.

Sperca

Elle n'est pas surjective, par contre on ne peut pas dire si elle est ou non injective.

[sperca]

Merci à toi,

Mais ce que je ne comprends c'est justement s'il a remplacé y par sa valeur qui est y = x+1 on se retrouve avec f(D) = (2x+1, 2(2x+1), non ?

Merci.

Sperca

[Syracuse_66]

Ah oui tu as raison, en effet f : (x,y) -> (x+y,2(x+y))
Par contre c'est (2x-1 ; 2(2x-1))

[sperca]

Re,

Ok donc tout va bien, j'ai compris le système d'applications et tout ça, merci beaucoup à vous

A bientôt.

Sperca

[indian58]

Ah oui tu as raison, en effet f : (x,y) -> (x+y,2(x+y))
Par contre c'est (2x-1 ; 2(2x-1))

Oups! Dsl pour l'erreur de calcul. Le principe reste le même.