théorie des ensembles : démonstration A inter (B U C) = (A inter B) U (A inter C)

[invite56460777]

Bonjour,

Je désire faire une démonstration propre de la formule suivante A inter (B U C) = (A inter B) U (A inter c) et aussi de son corrollaire A U (B inter C) = (A U B) inter (A U C).
A, B et C sont trois ensembles, U signifie union et inter : intersection.
Je n'ai qu'une seule idée pour démontrer ces deux propriétés :
- Je prends le premier membre de la propriété
quelque soit x appartenant à A inter (B U C), on a :
(1) x appartient à A et (x appartient à B ou x appartient à C)
Je considère alors les affirmations suivantes A: "x appartient à A", B: "x appartient à B" et C: "x appartient à C"
(1) s'écrit alors A et (B ou c)
Je fais le tableau de vérité pour l'expression A et (B ou C)

Je procède de la même manière pour le deuxième membre de la propriété (A inter B) U (A inter c)
quelque soit x appartenant à (A inter B) U (A inter C), on a:
(2) (x appartient à A et x appartient à B) ou (x appartient à A et x appartient à C)
Puis je remplace par les affirmations que j'ai définies plus haut:
(2) s'écrit alors (A et B) ou (A et C)
Je fais le tableau de vérité de (A et B) ou (A et C)
Je compare les tables de vérité de (1) et (2).
Je constate qu'elles sont identiques.
(1) et (2) sont donc logiquement équivalentes.
De là je pense pouvoir conclure qu'on a bien A inter (B U C) = (A inter B) U (A inter C)

J'ai donc maintenant deux questions:
1- Ma méthode est-elle valide?
2- Existe t-il une autre méthode de démonstration qui utiliserait plus les propriétés sur les ensembles?

D'avance merci pour le temps que vous m'accordez
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[invite14ea0d5b]

Ca me parait etre bcp de foin pour redire A inter (B U C) :

un élément qui appartient à l'ensemble d'arrivée (A inter (B U C)) appartient forcément à A. De plus, il doit appartenir à B ou à C.

en prenant cette phrase depuis la fin, on arrive tt de suite à (A inter B) U (A inter C). Tout est dit.

Sinon, ta méthode me parait tout à fait valide.... enfin heureusement que tu connaissais la résultat pour trouver cette démo :P

[invite3f53d719]

Ta démo n'est pas rigoureuse Korgox, tu n'as "montré" qu'un seul sens d'inclusion, et encore, si on peut appeller ca montrer

Ma démo: ---> Soit x un élément de A inter (BUC), on a x € A et (x € B ou x € C). 1er cas: x € B donc x € (A inter B) donc x € (A inter B) U (A inter C). 2eme cas: X € C donc x € (A inter C) donc x € (A inter B) U (A inter C). donc A inter (BUC) inclus dans (A inter B) U (A inter C).

---> Soit x un élément de (A inter B) U (A inter C), on a: (x € A et x € B) ou (x € A et x € C). Donc, on a directement x € A et (x € B ou x € C) donc X € A inter (BUC) donc (A inter B) U (A inter C) inclu dans A inter (BUC) d'où l'égalité des deux ensembles par définition.

Eric

[invite14ea0d5b]

je suis d'accord pour le "montrer" entre guillemets, mais pas pour le sens unique d'inclusion. J'ai reformulé une affirmation/phrase : par déf. la phrase reformulée est strictement équivalente à celle de départ.

Sérieusement, je me doutais bien que je rebuterais certains "rigoristes". D'ailleurs ils ont raison

[A voir en vidéo sur Futura]

[shokin]

An(BuC)

l'on sait que A=(AnB)u(An/B) pour tous ensembles A, B [Toute union, tout ensemble peut être changée en union d'intersection, dans le but de trouver des parenthèses semblables...*] donc :

comme A=(AnBnC)u(AnBn/C)u(An/BnC)u(An/Bn/C)

et comme BuC=(AnBnC)u(AnBn/C)u(An/BnC)u(/AnBnC)u(/AnBn/C)u(/An/BnC)

An(BuC)

=(AnBnC)u(AnBn/C)u(An/BnC)u(An/Bn/C) n (AnBnC)u(AnBn/C)u(An/BnC)u(/AnBnC)u(/AnBn/C)u(/An/BnC)

et comme dans deux ensembles, seuls les éléments communs font partie de leur intersection :

=(AnBnC)u(AnBn/C)u(An/BnC)

=(AnBnC)u(AnBn/C)u(AnBnC)u(An/BnC) [AuA=A]

=(AnB)u(AnC) [*... et inversément]

CQFD

ça marche toujours, mais parfois long à écrire

sinon, ya les tables de vérité

[Tu peux gagner du temps si tu connais certaines règles du jeu :

Si A<B, alors AuB=B et AnB=A, donc aussi

Au0=A, An0=0, AnE=A, AuE=A, 0 étant l'ensemble vide, E étant un référentiel contenant A.

AuA=AnA=A, Au/A=E, An/A=0, /0=E, /E=0

Les lois de De Morgan.

Celle déjà citée : A=(AnB)u(An/B) pour tous ensembles A et B]

Shokin

[Quinto]

Dans ce genre de trucs, ce qu'il y'a de plus rapide est souvent de passer par la fonction caracteristique...

[shokin]

C'est quoi la "fonction caractéristique" avec Boole ?

Shokin

[Quinto]

La fonction caracteristique d'un ensemble c'est la fonction qui associe 1 a tout élément de l'ensemble et 0 ailleurs.
Mais ceci dépend de l'ensemble sur lequel on se place.

La fonction caracteristique de N dans C ne sera pas la meme que celle de N dans R....

[shokin]

Ce serait alors attribuer 1 à par exemple AnBnC si A, B, C sont les seuls trois ensembles d'un référentiel ?

Alors AnB vaudrait 2 car AnB=(AnBnC)u(AnBn/C)

Shokin

[Quinto]

C'est quoi ce que tu appelles référentiel?

Et puis la réponse a ta seconde question, tu peux y repondre seul, regarde, une fonction caracteristique ne prend que 2 valeurs: 1 et 0, donc ....

[shokin]

La fonction caractéristique, attribue-t-elle aussi 1 aux parties de l'ensembles ? et 1 à l'ensemble lui-même.

Par référentiel, j'entends l'ensemble des possibilités propres à la situation du problème.

Si je tire une fois un dé normal non truqué, mon référentiel pour la valeur indiquée est {1;2;3;4;5;6}.

En fait, ça dépend comment il est défini dans le problème :

si je tire deux fois un dé normal non truqué, je peux définir mon référentiel comme :

- l'ensemble des couples possibles
- l'ensemble des sommes possibles
- l'ensemble des produits possibles
- etc.

(mais là, ça rejoint les proba et stat.)

Shokin

[Quinto]

Ok, je ne vois pas bien ou ca pourrait aller...

Ici il n'est pas question de proba ou de stat. Il n'est question que d'ensembles...

Si je me donne un ensemble X, alors j'appelle P(X) toutes les parties de X, a savoir tous les ensembles que je peux créer avec X.
Imaginons X={1,2,3}
Je peux créer 8 ensembles a partir de X:

-vide

-celui qui contient:
1
2
3
12
13
23

-X au complet

Si j'appelle f la fonction caracteristique de {1,2}, deja il est évident que je prend {1,2} comme partie de X et non de N, parce que je parlais plus haut de X. (C'est pas tres important en réalité pour nos besoins de remarquer que ca changerait la fonction f de toute facon)
Par définition on a
f(1)=1
f(2)=1
f(3)=0

Bon en fait ca sert a quoi, tout simplement a remarquer que si A et B sont 2ensembles et si j'appelle fA et fB leurs fonctions caracteristiques, alors on a:
fAunionB=fA+fB-fAinterfB
fAinterB=fAfB
fcomplementaireA=1-fA
etc.

notamment on remarque aussi ceci :
A inclus dans B <=> fA<fB
et donc la fonction qui a un ensemble associe sa fonction caracteristique est croissante (conserve les ordres) c'est assez joli parce que l'on change la relation d'ordre, mais l'ordre est conservé...


Bref, rien qu'avec les 2 premieres propriétés on peut faire beaucoup de choses... Notamment démontrer le probleme.

[shokin]

Ah ! je vois ! surtout j'imagine tout ce qu'on peut déjà faire.

Brumaire pourrait s'en inspirer.

Shokin

[invite56460777]

Les éléments que vous nous avez donné, nous ont bien aidé pour en faire d'autres. Mais je ne suis pas toujours certaine, que toutes les démonstrations faites sont bien rigoureuses. Je dois encore réexaminer et en cas de doute, je vous soumettrais le problème.
Merci encore

[invite56460777]

Mon trinôme et moi-même a fait la démonstration suivante pour démontrer que le complémentaire du complémentaire de A est A. A est inclus dans un ensemble X

(pour simplifier c signifie ici complémentaire)

(Ac)c = (X\A)c=X\(X\A)
x appartient à X et x n'appartient pas à X\A
x appartient à A
donc (Ac)c =A
Je trouve que qu'on n'a pas bien démontré.

Pour démontrer que (A U B)c = Ac inter Bc, on a procédé comme suit:
(A U B)c = Ac inter Bc
= X\(AUB)
= (X\A) inter (X\B)
Dans ce cas-là, on a rien montré du tout. Il faut reprendre une démondtration de type (A U B)c est inclus dans Ac inter Bc et réciproqiement?

[shokin]

Démontrer que le complémentaire du complémentaire de A est A.

c(A)=E-A=En/A

c(c(A)=c(En/A)=E-(En/A)=En(/(En/A))

=En(/EuA) [lois de De Morgan]

=(En/E)u(EnA) [Démontré précédemment]

=0uA [relis les petits trucs que j'ai indiqués]

=A

CQFD

Démontrer que c(AuB)=c(A)nc(B) [donc démontrer une loi de De Morgan]

Les tables de vérités suffisent. Si tu considères les ensembles comme des propositions.

Tu peux aussi considérer E ton référentiel :

E=(AnB)u(An/B)u(/AnB)u(/An/B) [*tu peux transformer tout ensemble en réunion d'intersections car A=(AnB)u(An/B)]

AuB=(AnB)u(An/B)u(/AnB)[*]

donc c(AuB)=E-(AuB)= tous les éléments de E qui ne sont pas dans AuB il reste donc seulement (/An/B)

QED

Shokin

[invite56460777]

Démontrer que le complémentaire du complémentaire de A est A.

c(A)=E-A=En/A

Shokin

Tu entends quoi par En/A??

[shokin]

En/A=E inter (le complémentaire de A)

Par hypothèse, A et /A sont inclus dans E, le référentiel.

J'utilise n pou inter et u pour union, / (ou c) pour complémentaire.

Shokin

[martini_bird]

Je prends la discussion en route pour vous dire que pour démontrer une égalité entre deux ensembles A et B, une bonne méthode consiste à démontrer que A est inclus dans B puis que B est inclus dans A.

Dans toutes les formules élémentaires, je dirais même que c'est la méthode.

Les fonctions caractéristiques fournissent effectivement des raccourcis élégants, mais ça suppose de connaître celles-ci et que l'on soit dans un même ensemble X. (Par exemple, l'égalité f(A u B) = f(A) u f(B) se démontre plus aisément par double inclusion).

[invitea8961440]

C'est tout.