théorie des ensembles : démonstration A inter (B U C) = (A inter B) U (A inter C)

[invite56460777]

Bonjour,

Je désire faire une démonstration propre de la formule suivante A inter (B U C) = (A inter B) U (A inter c) et aussi de son corrollaire A U (B inter C) = (A U B) inter (A U C).
A, B et C sont trois ensembles, U signifie union et inter : intersection.
Je n'ai qu'une seule idée pour démontrer ces deux propriétés :
- Je prends le premier membre de la propriété
quelque soit x appartenant à A inter (B U C), on a :
(1) x appartient à A et (x appartient à B ou x appartient à C)
Je considère alors les affirmations suivantes A: "x appartient à A", B: "x appartient à B" et C: "x appartient à C"
(1) s'écrit alors A et (B ou c)
Je fais le tableau de vérité pour l'expression A et (B ou C)

Je procède de la même manière pour le deuxième membre de la propriété (A inter B) U (A inter c)
quelque soit x appartenant à (A inter B) U (A inter C), on a:
(2) (x appartient à A et x appartient à B) ou (x appartient à A et x appartient à C)
Puis je remplace par les affirmations que j'ai définies plus haut:
(2) s'écrit alors (A et B) ou (A et C)
Je fais le tableau de vérité de (A et B) ou (A et C)
Je compare les tables de vérité de (1) et (2).
Je constate qu'elles sont identiques.
(1) et (2) sont donc logiquement équivalentes.
De là je pense pouvoir conclure qu'on a bien A inter (B U C) = (A inter B) U (A inter C)

J'ai donc maintenant deux questions:
1- Ma méthode est-elle valide?
2- Existe t-il une autre méthode de démonstration qui utiliserait plus les propriétés sur les ensembles?

D'avance merci pour le temps que vous m'accordez

[invite14ea0d5b]

Ca me parait etre bcp de foin pour redire A inter (B U C) :

un élément qui appartient à l'ensemble d'arrivée (A inter (B U C)) appartient forcément à A. De plus, il doit appartenir à B ou à C.

en prenant cette phrase depuis la fin, on arrive tt de suite à (A inter B) U (A inter C). Tout est dit.

Sinon, ta méthode me parait tout à fait valide.... enfin heureusement que tu connaissais la résultat pour trouver cette démo :P

[invite3f53d719]

Ta démo n'est pas rigoureuse Korgox, tu n'as "montré" qu'un seul sens d'inclusion, et encore, si on peut appeller ca montrer

Ma démo: ---> Soit x un élément de A inter (BUC), on a x € A et (x € B ou x € C). 1er cas: x € B donc x € (A inter B) donc x € (A inter B) U (A inter C). 2eme cas: X € C donc x € (A inter C) donc x € (A inter B) U (A inter C). donc A inter (BUC) inclus dans (A inter B) U (A inter C).

---> Soit x un élément de (A inter B) U (A inter C), on a: (x € A et x € B) ou (x € A et x € C). Donc, on a directement x € A et (x € B ou x € C) donc X € A inter (BUC) donc (A inter B) U (A inter C) inclu dans A inter (BUC) d'où l'égalité des deux ensembles par définition.

Eric

[invite14ea0d5b]

je suis d'accord pour le "montrer" entre guillemets, mais pas pour le sens unique d'inclusion. J'ai reformulé une affirmation/phrase : par déf. la phrase reformulée est strictement équivalente à celle de départ.

Sérieusement, je me doutais bien que je rebuterais certains "rigoristes". D'ailleurs ils ont raison

[A voir en vidéo sur Futura]

[shokin]

An(BuC)

l'on sait que A=(AnB)u(An/B) pour tous ensembles A, B [Toute union, tout ensemble peut être changée en union d'intersection, dans le but de trouver des parenthèses semblables...*] donc :

comme A=(AnBnC)u(AnBn/C)u(An/BnC)u(An/Bn/C)

et comme BuC=(AnBnC)u(AnBn/C)u(An/BnC)u(/AnBnC)u(/AnBn/C)u(/An/BnC)

An(BuC)

=(AnBnC)u(AnBn/C)u(An/BnC)u(An/Bn/C) n (AnBnC)u(AnBn/C)u(An/BnC)u(/AnBnC)u(/AnBn/C)u(/An/BnC)

et comme dans deux ensembles, seuls les éléments communs font partie de leur intersection :

=(AnBnC)u(AnBn/C)u(An/BnC)

=(AnBnC)u(AnBn/C)u(AnBnC)u(An/BnC) [AuA=A]

=(AnB)u(AnC) [*... et inversément]

CQFD

ça marche toujours, mais parfois long à écrire

sinon, ya les tables de vérité

[Tu peux gagner du temps si tu connais certaines règles du jeu :

Si A<B, alors AuB=B et AnB=A, donc aussi

Au0=A, An0=0, AnE=A, AuE=A, 0 étant l'ensemble vide, E étant un référentiel contenant A.

AuA=AnA=A, Au/A=E, An/A=0, /0=E, /E=0

Les lois de De Morgan.

Celle déjà citée : A=(AnB)u(An/B) pour tous ensembles A et B]

Shokin

[inviteab2b41c6]

Dans ce genre de trucs, ce qu'il y'a de plus rapide est souvent de passer par la fonction caracteristique...

[shokin]

C'est quoi la "fonction caractéristique" avec Boole ?

Shokin

[inviteab2b41c6]

La fonction caracteristique d'un ensemble c'est la fonction qui associe 1 a tout élément de l'ensemble et 0 ailleurs.
Mais ceci dépend de l'ensemble sur lequel on se place.

La fonction caracteristique de N dans C ne sera pas la meme que celle de N dans R....

[shokin]

Ce serait alors attribuer 1 à par exemple AnBnC si A, B, C sont les seuls trois ensembles d'un référentiel ?

Alors AnB vaudrait 2 car AnB=(AnBnC)u(AnBn/C)

Shokin

[inviteab2b41c6]

C'est quoi ce que tu appelles référentiel?

Et puis la réponse a ta seconde question, tu peux y repondre seul, regarde, une fonction caracteristique ne prend que 2 valeurs: 1 et 0, donc ....

[shokin]

La fonction caractéristique, attribue-t-elle aussi 1 aux parties de l'ensembles ? et 1 à l'ensemble lui-même.

Par référentiel, j'entends l'ensemble des possibilités propres à la situation du problème.

Si je tire une fois un dé normal non truqué, mon référentiel pour la valeur indiquée est {1;2;3;4;5;6}.

En fait, ça dépend comment il est défini dans le problème :

si je tire deux fois un dé normal non truqué, je peux définir mon référentiel comme :

- l'ensemble des couples possibles
- l'ensemble des sommes possibles
- l'ensemble des produits possibles
- etc.

(mais là, ça rejoint les proba et stat.)

Shokin