Salut,
je me demandais si quelqu'un pouvait expliquer succintement pourquoi on a que
ln(x)/x~Pi(x) en l'infini.
Je crois que la formule a été démontrée par Hadamrd et Poussin de part des considérations d'analyse complexe, mais je n'en sais guere plus...
Si quelqu'un avait le schéma de la demo, ce serait interessant.
Merci
A+
Quinto
Salut Quinto,
La preuve originale fait appel à de l'analyse complexe plutôt velue (mais pas de problème pour toi !).
Il y a une preuve "élémentaire" (mais de 20+ pages) dans le "Que sais-je ?" (réponse : pas grand chose !) sur les nombres premiers.
Sinon il y a les inégalités de Tchebycheff sur pi(x) qui sont déjà superbes et "faciles" : log(2)/4 x/log(x) < pi(x) < 9log(2) x/log(x)
cf http://name.math.univ-rennes1.fr/ant...2/algu2003.pdf p. 30
En fait c'est l'inverse, Pi(x) est équivalent à x/ln(x), pas ln(x)/x qui tend vers 0...
En gros l'idée de la preuve est de relier l'étude de certaines sommes faisant intervenir les nombres premiers à celle de la fonction zeta de Riemann. En pratique c'est un peu technique. Il y a en fait des formules appelées "formules explicites" qui relient des sommes faisant intervenir les nombres premiers (par exemple la fonction psi(x)=somme pour p^n < x des log(p)) à des sommes faisant intervenir des zéros de la fonction zeta. Une étude fine de la fonction zeta permet d'avoir une estimation suffisante de la répartition de ces zéros pour avoir des estimations suffisamment fines de psi impliquant alors des choses sur la réparition des nombres premiers.
Pour obtenir le lien entre nombres premiers et zéros de zeta, on peut voir que zeta(s) est le produit des 1/(1-p^(-s)) et utiliser des formules de résidus sur de bons contours.
Y'a aussi ce site (MathWorld, genial, on y trouve vraiment tout !)
http://mathworld.wolfram.com/PrimeNumberTheorem.html
J'avais fait un mémoire sur le théorème des nombres premiers où j'ai décrypté le mémoire de Riemann. Si ça t'intéresse, je pourrai te l'envoyer, mais il faut que je le dépoussière avant.
Sinon, il y a le bouquin d'Edwards "Riemann's Zeta function".
Salut,
oui ceci m'interesse bien.
Et merci a BS.
Sinon il etait évident que c'etait bien x/ln(x) et non l'inverseMea culpa.
