[exo maths spé] Continuité de xln(x)

[invitebb7c0b04]

Soit h(x,y)=x ln( x ) + y ln( y ) pour x et y non nul
on pose h(0,y)= yln( y )
h(x,0)= x ln( x)
et h(0,0)= 0

Etudier la continuité.





Voila alors je bloque il faut bien sur utilisé la formule de la continuité:
quelque soit epsilone>0 il existe éta >0 tel que quelque soit (x,y) on a:
valeur absolue de (x,y)-(x0,y0) < éta => valeur absolue de f(x,y)-f(x0,y0)


le coté gauche de l'impliquation implique trivalement que x-x0< éta et y-y0<éta

Mais pour le coté droit de l'impliquation je n'arrive pas a trouver la petite astuce pour faire intervenir le x-x0 et y-y0 j'ai essayé le dévelopement en serie entiere mais j'ai pas l'impression de toucher au but, en clair je suis coinssé.

Merci a vous de bien vouloir m'aidé
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[invite1237a629]

Salut,

Je pense que pour dire que c'est continu, tu peux dire que la limite de h(x,y) quand x et y tendent vers 0 est égale à h(0,0) => prolongement par continuité => continue

[invitebb7c0b04]

non sa c'est trop simple j'ai pas le droit de supposé que les fonctions usuelles racine , sin, cos, tan, exp, ln, arcsin, . . . (et plus généralement
toute fonction dérivable) sont continues sur leur intervalle de défnition.

Dans cette énoncé il faut que je trouve le éta pour que l'implacation soit vérifier.

Mais merci de ta réponsé rapide.

[invitec053041c]

Salut.

h(x,y) est la somme de f(x,y)=x.ln(x) et de g(x,y)=y.ln(y).

La continuité de f et g est facile à montrer.
Tu utilises ensuite la propriété de la somme de fonctions continues...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebb7c0b04]

ba il me manque l'astuce enfaite il faudrais que j'arrive a faire apparaitre x-x0 qui est inferieur a éta pour f et y-y0 qui est efierieur a étapour g

Pour f sa fait :

xln(x)-x0ln(x0) mais faudrais faire intervenir éta afin de le déterminé

[invitebb7c0b04]

j'ai peut etre trouver une piste en composant par ln(exp()):

ln(exp(xln(x)-x0ln(x0))=ln(exp(xln(x))/exp(x0ln(x0)))= ln(x(x-x0)/x0)

=ln(x-x0)+ln(x)-ln(x0)

donc la je l'ai presque faudrais que je montre que si x-xo<éta alors ln(x)-ln(x0)<éta et que ln(x-x0)<éta

[invitebb7c0b04]

est ce qu'on a le droit de dire que ln(valur absolue[x-x0])<valeur[x-x0]
dans se cas mon exo est terminé je crois

[invitebb7c0b04]

mon calcule est faux j'ai fait une boutade

[invitebb7c0b04]

Personne peut m'aider ?

[invitec053041c]

La fonction f: x-> x.ln(x) pour x différent de 0, et f(0)=0 est continue en 0.

Tu le montres comme tu veux, mais lim x.ln(x)=0 en 0 devrait être connue.

Bref, cela signifie qu'à epsilon>0 fixé, et pour |x-0| assez petit (<eta ), tu as |x.ln(x)-0|=<epsilon.

Donc la fonction:

h(x,y)=x.ln(x) est continue en (0,0) en vertu de:

Si ||(x,y)-(0,0)||=|x|+|y| =<eta (j'utilise une certaine norme, mais en dim finie peu importe)
On a |x|=<eta1 et donc, d'après la continuité de f, |x.ln(x)-0|=< epsilon

L'autre morceau est identique, et tu utilises le fait que la somme de fct continues est continue.

[invitebb7c0b04]

j'ai dit que ln(valeur absolue de k)< valeur absolue k

et donc on obtient valeur absolue de h(x,y)-h(x0,y0)<valeur absolue de ( x²-x0²) + valeur absolue(y²-y0²)

mais en factoriasant (x-x0)(x+x0)+(y-y0)(y+y0)< éta(x+x0+y+y0)

il faudrais que je me débarasse du terme x+x0+y+y0 et trouver quelque chose en focntion de éta et se serais niquel,

mais hypothese de départ c'est toujours valeur..(x-x0)<éta et valeur..(y-y0)<éta

si quelqu'un peu m'aider se serais chouette

[invite1237a629]

Ce que je comprends pas, c'est pourquoi tu t'entêtes à utiliser la démonstration par les epsilon (pas encore capté ce qu'était éta) ...

Voila alors je bloque il faut bien sur utilisé la formule de la continuité:
quelque soit epsilone>0 il existe éta >0 tel que quelque soit (x,y) on a:
valeur absolue de (x,y)-(x0,y0) < éta => valeur absolue de f(x,y)-f(x0,y0)

C'est dans l'énoncé qu'on dit ça ?


(pas d'bol, t'es tombé sur quelqu'un de têtu ^^)

[invitebb7c0b04]

ouais enfin c le prof qui a dit de faire sa on il nous dans se chapitre on admet pas que les fonction comme ln son continue, on l'admettra passsé se chapitre.

éta c une lettre grec lol !

[invite1237a629]

Ben là on ne suppose pas que ln est continue, on dit juste que xln(x), quand x tend vers 0, tend vers la valeur qu'on t'a donné de la fonction en 0.

C'est en soi une démonstration de la continuité de xln(x)...

[invitebb7c0b04]

Ouais mais la tu a juste montre qu'elle était continue en 0 or moi je doit démontré qu'elle est continue sur tout l'interval de définition,

soit en utilisant la formule avec les epsilos c'était dire trouver le "n" ( ="éta" )
Qui vérifie l'implication
éta= fonction de epsilone