Recherche de fonction: reformulation simple

[invite59829175]

Bonjour,

Sous les conseil d'un internaute je reformule ma question de facon simple et sans considération physique.

Je suis complétement bloquée dans mes recherche par ce probleme qu'il faut que je résoud:

Je cherche à définir une fonction de probabilité dans un interval [a,c]. Cette fonction doit satifaire les conditions:
Elle doit être decrite par deux fonctions:
g(x) qui décrit la densite de probalilité de mon evenemeent x entre [a,c]
h(x) qui décrit la densite de probalilité de mon evenemeent x entre [c,b]
g(x) et h(x) doivent satisfaire:
g(c)=h(c)
g(a)=h(b)=0
Integrale(g(x),x,a,c)+Integral e(h(x),x,c,b)=1
Integrale(x*g(x),x,a,c)+Integr ale(x*h(x),x,c,b)=0
Une solution où une ou plusieurs de ces 4 integrale seraiet toujours nulle est a écarter.
a, b et c sont des variables connues avec a negatif, b positif et c peut etre negatif ou positif.

J'ai deja cherché différentes solutions pour des fonctions du type:
1) g(x)=(x-a)^alpha;h(x)=(b-x)^beta
2) g(x)=(x-a)*exp(alpha*x);h(x)=(b-x)*exp(beta*x)
3) g(x)=(x-a)*exp(alpha+x);h(x)=(b-x)*exp(beta+x)

Avec ces couples de fonction je ne trouve pas de solution....

Pour ceux qui souhaite avoir la physique qu'il y a derriere ce probleme, voir le post : Prob de recherche de fonction

Merci pour votre aide.
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[invitef4181796]

Bonjour,

Sous les conseil d'un internaute je reformule ma question de facon simple et sans considération physique.

Je suis complétement bloquée dans mes recherche par ce probleme qu'il faut que je résoud:

Je cherche à définir une fonction de probabilité dans un interval [a,c]. Cette fonction doit satifaire les conditions:
Elle doit être decrite par deux fonctions:
g(x) qui décrit la densite de probalilité de mon evenemeent x entre [a,c]
h(x) qui décrit la densite de probalilité de mon evenemeent x entre [c,b]
g(x) et h(x) doivent satisfaire:
g(c)=h(c)
g(a)=h(b)=0
Integrale(g(x),x,a,c)+Integral e(h(x),x,c,b)=1
Integrale(x*g(x),x,a,c)+Integr ale(x*h(x),x,c,b)=0
Une solution où une ou plusieurs de ces 4 integrale seraiet toujours nulle est a écarter.
a, b et c sont des variables connues avec a negatif, b positif et c peut etre negatif ou positif.

J'ai deja cherché différentes solutions pour des fonctions du type:
1) g(x)=(x-a)^alpha;h(x)=(b-x)^beta
2) g(x)=(x-a)*exp(alpha*x);h(x)=(b-x)*exp(beta*x)
3) g(x)=(x-a)*exp(alpha+x);h(x)=(b-x)*exp(beta+x)

Avec ces couples de fonction je ne trouve pas de solution....

Pour ceux qui souhaite avoir la physique qu'il y a derriere ce probleme, voir le post : Prob de recherche de fonction

Merci pour votre aide.

Peux tu préciser si l'on peut avoir c= (a+b)/2 ?

[invitef4181796]

Bonjour,

Sous les conseil d'un internaute je reformule ma question de facon simple et sans considération physique.

Je suis complétement bloquée dans mes recherche par ce probleme qu'il faut que je résoud:

Je cherche à définir une fonction de probabilité dans un interval [a,c]. Cette fonction doit satifaire les conditions:
Elle doit être decrite par deux fonctions:
g(x) qui décrit la densite de probalilité de mon evenemeent x entre [a,c]
h(x) qui décrit la densite de probalilité de mon evenemeent x entre [c,b]
g(x) et h(x) doivent satisfaire:
g(c)=h(c)
g(a)=h(b)=0
Integrale(g(x),x,a,c)+Integral e(h(x),x,c,b)=1
Integrale(x*g(x),x,a,c)+Integr ale(x*h(x),x,c,b)=0
Une solution où une ou plusieurs de ces 4 integrale seraiet toujours nulle est a écarter.
a, b et c sont des variables connues avec a negatif, b positif et c peut etre negatif ou positif.

J'ai deja cherché différentes solutions pour des fonctions du type:
1) g(x)=(x-a)^alpha;h(x)=(b-x)^beta
2) g(x)=(x-a)*exp(alpha*x);h(x)=(b-x)*exp(beta*x)
3) g(x)=(x-a)*exp(alpha+x);h(x)=(b-x)*exp(beta+x)

Avec ces couples de fonction je ne trouve pas de solution....

Pour ceux qui souhaite avoir la physique qu'il y a derriere ce probleme, voir le post : Prob de recherche de fonction

Merci pour votre aide.

Et si l'on prend une fonction paire, positive, s'annulant en (b-a)/2 et donc aussi en (a-b)/2, et que l'on translate l'origine en (a+b)/2, cela semble marcher, non?

[invitef4181796]

Bonjour,

Sous les conseil d'un internaute je reformule ma question de facon simple et sans considération physique.

Je suis complétement bloquée dans mes recherche par ce probleme qu'il faut que je résoud:

Je cherche à définir une fonction de probabilité dans un interval [a,c]. Cette fonction doit satifaire les conditions:
Elle doit être decrite par deux fonctions:
g(x) qui décrit la densite de probalilité de mon evenemeent x entre [a,c]
h(x) qui décrit la densite de probalilité de mon evenemeent x entre [c,b]
g(x) et h(x) doivent satisfaire:
g(c)=h(c)
g(a)=h(b)=0
Integrale(g(x),x,a,c)+Integral e(h(x),x,c,b)=1
Integrale(x*g(x),x,a,c)+Integr ale(x*h(x),x,c,b)=0
Une solution où une ou plusieurs de ces 4 integrale seraiet toujours nulle est a écarter.
a, b et c sont des variables connues avec a negatif, b positif et c peut etre negatif ou positif.

J'ai deja cherché différentes solutions pour des fonctions du type:
1) g(x)=(x-a)^alpha;h(x)=(b-x)^beta
2) g(x)=(x-a)*exp(alpha*x);h(x)=(b-x)*exp(beta*x)
3) g(x)=(x-a)*exp(alpha+x);h(x)=(b-x)*exp(beta+x)

Avec ces couples de fonction je ne trouve pas de solution....

Pour ceux qui souhaite avoir la physique qu'il y a derriere ce probleme, voir le post : Prob de recherche de fonction

Merci pour votre aide.

Voici une autre possibilité: Prends une fonction F, positive, dont le support est [a,b]. En utilisant une méthode à la Graam-Schmidt, construis, à partir de F, une fonction G telle que G est orthogonale à xG (produit scalaire L^2). Prends H=G^2, et éventuellement normalise pour que H soit d'intégrale 1. Les fonctions g et h que tu cherches sont les restrictions de H aux intervalles [a,c] et [c,b].

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite59829175]

response 1)
a,b et c ne doivent pas etre contraint. la seule chose que l'on peut dire sur ces parametre c'est:
a<0
b>0
a<c<b

Reponse 2)
mais il faut une fonction paire qui satisfasse egalement les autres conditions.

[invite59829175]

Voici une autre possibilité: Prends une fonction F, positive, dont le support est [a,b]. En utilisant une méthode à la Graam-Schmidt, construis, à partir de F, une fonction G telle que G est orthogonale à xG (produit scalaire L^2). Prends H=G^2, et éventuellement normalise pour que H soit d'intégrale 1. Les fonctions g et h que tu cherches sont les restrictions de H aux intervalles [a,c] et [c,b].

La desolée, mais je ne comprends rien. Mon principale probleme est bien que je suis phycisienne et que je ne maitrise pas les mathematique. qu'est ce que:

méthode à la Graam-Schmidt

[invitef4181796]

La desolée, mais je ne comprends rien. Mon principale probleme est bien que je suis phycisienne et que je ne maitrise pas les mathematique. qu'est ce que:

méthode à la Graam-Schmidt

Il y a des explications ici:


http://fr.wikipedia.org/wiki/Proc%C3...e_Gram-Schmidt

[invite59829175]

Bonjour,

j'ai mis enormement de bonne volonte mais ce que tu proposes est en dehors de mes compétences.

Est ce que tu pourrais m'aider?

[invitef4181796]

Bonjour,

j'ai mis enormement de bonne volonte mais ce que tu proposes est en dehors de mes compétences.

Est ce que tu pourrais m'aider?

J'ai beaucoup de travail en ce moment, mais je te promets de regarder si j'ai un peu de temps. Peut être un autre matheux sur ce forum pourrait aussi regarder?

[invite35452583]

Je cherche à définir une fonction de probabilité dans un interval [a,c]. Cette fonction doit satifaire les conditions:
Elle doit être decrite par deux fonctions:
g(x) qui décrit la densite de probalilité de mon evenemeent x entre [a,c]
h(x) qui décrit la densite de probalilité de mon evenemeent x entre [c,b]
g(x) et h(x) doivent satisfaire:
g(c)=h(c)
g(a)=h(b)=0
Integrale(g(x),x,a,c)+Integral e(h(x),x,c,b)=1
Integrale(x*g(x),x,a,c)+Integr ale(x*h(x),x,c,b)=0
Une solution où une ou plusieurs de ces 4 integrale seraiet toujours nulle est a écarter.
a, b et c sont des variables connues avec a negatif, b positif et c peut etre negatif ou positif.

Autant chercher dans des fonctions continues et simples de surcroît.
Si g et h sont les restrictions d'une fonction continue sur [a,b]
On a f est dans le noyau des formes linéaires :
f->f(a) f->f(b) et f->, l'intersection du noyau de ces trois formes est de codimension au plus trois (moins si elles ne sont pas indépendantes). Il suffit de trouver un sous-espace vectoriel des fonctions continues sur [a,b] de dimension 4 sur lequel f-> n'est pas triviale.
Les polynômes de degré <=3 conviennent.
On a f est de la forme (X-a)(X-b)P(X) avec P est un polynôme de degré <=1.
On peut vérifier que le noyau de p-> est distinct de celui de p-> il existe donc p tel que la fonction f ->(x-a)(x-b)p(x) vérifie f(a)=f(b)= et , il suffit de diviser f par la valeu de cette dernière intégrale (on normalise).

[invite59829175]

j'ai deja chercher des solutions du type f(x)=beta*(x-a)*(b-x)*(x-alpha) suite aux conseils d'un internaute.
J'ai alors une solution unique pour alpha et beta en fonction de a et b. Le probleme est que ces solutions peuvent amener à f(x) <0. Or f(x) est une probabilité, elle doit toujours etre >0

J'ai malheureusement juste mis f(x) est une fonction de probabilité dans mon message. J'ai oublié de spécifier clairement f(x)>0. Je m'en excuse.

Merci pour l'aide apporté et encore merci pour l'aide que vous pourriez m'apportez. Je suis complétement bloquée..................

[invitef4181796]

j'ai deja chercher des solutions du type f(x)=beta*(x-a)*(b-x)*(x-alpha) suite aux conseils d'un internaute.
J'ai alors une solution unique pour alpha et beta en fonction de a et b. Le probleme est que ces solutions peuvent amener à f(x) <0. Or f(x) est une probabilité, elle doit toujours etre >0

J'ai malheureusement juste mis f(x) est une fonction de probabilité dans mon message. J'ai oublié de spécifier clairement f(x)>0. Je m'en excuse.

Merci pour l'aide apporté et encore merci pour l'aide que vous pourriez m'apportez. Je suis complétement bloquée..................

La méthode que je propose donnera f comme une série. Il faudra encore vérifier la cv uniforme pour s'assurer que f est bien continue. Je pense que cela marche si a et b sont de module plus petit que 1. Pour le cas général, on peut sans doute se débrouiller avec un changement de variable.

Autre approche: essayer de développer f sur la base des fonctions d'Hermite. Ce sont des fonctions propres pour la TF, et la multiplication par x correspond à la dérivation.
(Homotopie, qu'en penses tu?)

Thouron: as tu besoin d'une formule explicite pour f ou seulement d'un théorème d'existence?

[invite59829175]

C'est à dire que qu'en je comprends la méthode je peux tenter de chercher l'expression de f mais lorsque la méthode proposée est en dehors de mes compétences alors je voudrais l'expression de f.
Par exemple ca:
"La méthode que je propose donnera f comme une série. Il faudra encore vérifier la cv uniforme pour s'assurer que f est bien continue. Je pense que cela marche si a et b sont de module plus petit que 1. Pour le cas général, on peut sans doute se débrouiller avec un changement de variable.

Autre approche: essayer de développer f sur la base des fonctions d'Hermite. Ce sont des fonctions propres pour la TF, et la multiplication par x correspond à la dérivation."

C'est malheureusement en dehors de mes compétences. Enfin je crois.

Pour répondre à ton intérogation:
-2<a<0 et 0<b<2. Cependant si a<-1 alors b est forcément compris entre [0,1] et si b>1 alors a est forcément compris [-1,0]

[invitef4181796]

C'est à dire que qu'en je comprends la méthode je peux tenter de chercher l'expression de f mais lorsque la méthode proposée est en dehors de mes compétences alors je voudrais l'expression de f.
Par exemple ca:
"La méthode que je propose donnera f comme une série. Il faudra encore vérifier la cv uniforme pour s'assurer que f est bien continue. Je pense que cela marche si a et b sont de module plus petit que 1. Pour le cas général, on peut sans doute se débrouiller avec un changement de variable.

Autre approche: essayer de développer f sur la base des fonctions d'Hermite. Ce sont des fonctions propres pour la TF, et la multiplication par x correspond à la dérivation."

C'est malheureusement en dehors de mes compétences. Enfin je crois.

Pour répondre à ton intérogation:
-2<a<0 et 0<b<2. Cependant si a<-1 alors b est forcément compris entre [0,1] et si b>1 alors a est forcément compris [-1,0]

Essaie quelque chose comme f(x)=(x-a)(b-x)exp(-(x^2)), f(x)=0 en dehors de [a,b]. Je n'ai pas vraiment vérifié, mais il me semble que cela peut marcher. (exp=exponentielle.)

[invite35452583]

J'ai malheureusement juste mis f(x) est une fonction de probabilité dans mon message. J'ai oublié de spécifier clairement f(x)>0. Je m'en excuse.

Plus que ton manque de précision c'est moi qui n'ai pas fait attention.

Autre approche: essayer de développer f sur la base des fonctions d'Hermite. Ce sont des fonctions propres pour la TF, et la multiplication par x correspond à la dérivation.
(Homotopie, qu'en penses tu?)

Mes ouvenirs sont un peu vieilli sur ce domaine mais de ce que je me rappelle ça doit fonctionner oui.

Mais je pense que l'on peut faire plus simple.
Il faut définir f sur [a,b] en deux morceaux :
f(x)=k.(b-x)(x-a) sur [0,b]
f(x)=h.(b-x)(a-x) sur [a,0]
On a f(a)=f(b)=0.
Maintenant, en posant et , on a trivialement I>0, J>0, K>0, L>0.
La condition devient kI-hJ=0 (ce qui est tout à fait compatible avec la condition k,h>0). k=h(J/I)
Et la condition devient kK+hL=1, soit h(JK/I+L)=1.
Les valeurs h=(JK/I+L)^-1 et k=h(J/I) sont positives donc f est positive et convient.

[invite35452583]

Zut il y a une discontinuité en 0 qui peut éventuellement être c.
Bon on prend f(x)=kx(b-x) pour x>=0 et f(x)=hx(a-x) et on reprend la même idée avec I, J, K, L. Cette fois il y a continuité partout même en 0.

[invitef4181796]

Zut il y a une discontinuité en 0 qui peut éventuellement être c.
Bon on prend f(x)=kx(b-x) pour x>=0 et f(x)=hx(a-x) et on reprend la même idée avec I, J, K, L. Cette fois il y a continuité partout même en 0.

Oui, mais f s'annule en 0.

[invite986312212]

salut,

il y a quelque-chose de pas très clair dans la formulation de ton problème, c'est le rôle de la constante c.
J'ai l'impression que tu cherches une densité de probabilité sur un intervalle [a,b], s'annulant en a et b et... quoi au juste? est-ce que c est le mode de cette densité?

[invite35452583]

Oui, mais f s'annule en 0.

La contrainte est f>0 sur ]a;b[ ? ce n'était pas précisé et ça je ne pouvais pas le deviner.
L'idée reste la même :
f est définie linéairement par morceaux avec
f(a)=0 f(a/2)=h f(0)=1 f(b/2)=k f(b)=0 et on définit les paramètres k et h par les deux contraintes kI-hJ=0 kK+hL=1.
Maintenant si tu veux quelque chose de plus par rapport à c tu ajoutes un paramètre (et donc un nouveau point de non dérivabilité) en posant f(c)=l par exemple et en reprenant le problème.

Mais j'ai l'impression qu'il y a des contraintes non dites.

[Médiat]

Soit une fonction avec toutes les propriétés de continuité de d'intégrabilité qui vont bien et telle que .
La fonction est strictement positive sur ]a, b[ et s'annule en a et b.
Soit

Si c'est presque gagné

Si , soit et la fonction, définie par et

Alors la fonction est strictement positive sur ]a, b[ et s'annule en a et b, de plus
, il suffit de choisir pour que cette dernière intégrale soit nulle et c'est presque gagné.

Pour c'est un peu la même chose.

Quand on a presque gagné il ne reste plus qu'a multiplier par pour que .

Arrivé là, je me demande, comme ambrosio, à quoi sert c ???

[invite59829175]

Voici une reponse groupé à tous vos messages.
Bon d'abord je vais faire tres conventionnel, mais je vous remercie pour votre aide. Parce que vraiment je ne m'en sort pas.

Réponse générale à la question: A quoi sert c?

En fait j'ai introduit c car je n'ai pas reussi à trouver une fonction qui me permette de décrire ma probabilité vu les conditions imposées. J'ai donc décidé de la décrire par deux fonctions. Sauf que derrière ce problème mathématique que je vous pose j'ai des contraintes dues à ma physique. Cette contrainte impose que si je décris ma probabilité par deux fonctions différentes alors le passage d'une fonction à l'autre ne peut se faire que en un point c, variable donné par mon modèle, dont je vous passe la signification physique. Je ne peut pas passer d'une fonction à l'autre en x=0 (x=0 correspondant à la valeur moyenne de ma variable, sauf cas particulier ou c=0) sinon la physique serait inexacte.

Cependant si il existe une solution en utilisant une seule fonction alors le point c n'a pas lieu d'exister.

Réponse au message 14: je vais tester et je te dirai

Reponse au message 15 et 16:
je n'ai pas pris le temps de bien analyser le raisonnement mais ce qui me gène c'est que si h est positif, alors f(x)<0 entre [a,0] puisque b-x>0 et a-x <0.
(A noté que le pasage d'une fonction à l'autre ne peut pas se faire en x=0 (sauf cas particulier c=0) (voir ci dessus))

Reponse au message 19:
Je n'ai pas la containte f(0) =1 et je ne la veux pas

Reponse au message 20
"Si lamda>0 c'est presque gagné"
c'est bien mon cas. Mais mon probleme est que je ne trouve pas de solution.



Voila je pense avoir répondu à tout le monde. N'hesitez pas à me demander des choses, mais n'abandonnez pas . Evidemment je continue à chercher de mon coté. Je n'ai pas abandonné.....
pour ma part je suis sur un truc : g(x)=alpha*(x-a)^3 et h(x)=beta*(b-x)*(x+gamma)^2. h(x) est positive, g(x) est montone, la continuité en c m'assure la positivité de g(x). Cependant je n'ai pas de solution pour l'instant. C'est à dire une expression de alpha, beta et gamma en fonction de a,b et c.

Merci pour votre aide.

[Médiat]

Reponse au message 20
"Si lamda>0 c'est presque gagné"
c'est bien mon cas. Mais mon probleme est que je ne trouve pas de solution.

La solution est dans la suite de mon message...

[invite986312212]

et pourquoi n'utilises-tu pas les lois Beta? ce sont des lois sur l'intervalle [0,1] (mais bien sûr il suffit de considérer a+(b-a)X ) dont la densité s'annule aux bornes de l'intervalle, et dont on peut placer la moyenne où on veut, en choisissant les paramètres idoines.
http://en.wikipedia.org/wiki/Beta_distribution

[invite59829175]

La solution est dans la suite de mon message...

je ne trouve pas l'expression de f1. ou alors c'est qu'il y a un truc que j'ai pas compris

[invite59829175]

et pourquoi n'utilises-tu pas les lois Beta? ce sont des lois sur l'intervalle [0,1] (mais bien sûr il suffit de considérer a+(b-a)X ) dont la densité s'annule aux bornes de l'intervalle, et dont on peut placer la moyenne où on veut, en choisissant les paramètres idoines.
http://en.wikipedia.org/wiki/Beta_distribution

je ne connais pas. je vais regarder et tester

[invite59829175]

La solution est dans la suite de mon message...

Enfin je veux dire que je ne trouve pas une expression de f1 qui me permette d'exprimer les parametres introduits pour resoudre le probleme (type alpha, beta, gamma) en fonction a,b,c.

[Médiat]

je ne trouve pas l'expression de f1. ou alors c'est qu'il y a un truc que j'ai pas compris

Toutes les fonctions sympas et strictement positives sur [a, b], fonctionne, (par exemple e^x, ou une constante positive). ou avec une fonction strictement positive sur ]a, b[ qui s'annule en a et b, tu as directement f₂

[invite59829175]

Soit une fonction avec toutes les propriétés de continuité de d'intégrabilité qui vont bien et telle que .
La fonction est strictement positive sur ]a, b[ et s'annule en a et b.
Soit

Si c'est presque gagné

Ca je m'en occupe pas il s'agit d'une normalisation je peux effectivement le faire à la fin.

[QUOTE=Quand on a presque gagné il ne reste plus qu'a multiplier [tex]f_4[/tex] par pour que .

donc à ce stade:
Soit
tu dis que n'importe qu'elle fonction f1 marche.

Bon je vais reprendre mes calculs.
Je vais refaire. Et au pire je te les montrerais.

[invite59829175]

Toutes les fonctions sympas et strictement positives sur [a, b], fonctionne, (par exemple e^x, ou une constante positive). ou avec une fonction strictement positive sur ]a, b[ qui s'annule en a et b, tu as directement f₂

Alors si je prends f1=exp(x) et donc donc f2=(x-a)*(b-x)*exp(x) ca ne marche pas. J'ai alors int(x*f(x)*dx, x,a,b)=[exp(a)*(-a^2+4*b+a*b-2*b-6)]+[exp(b)*(b^2-4*b-a*b+2*a+6)]
Ce terme n'est pas srtictement nul.
Je ne sais pas ou est ce que je te perds, mais visiblement il y a un truc que je ne comprends pas dans ton explication.

Tu peux me dire ou je me perds?

[Médiat]

Tu as calculé le lambda de mes explications, lambda qui peut être négatif, nul ou positif, le cas nul est trivial, le cas positif est celui que j'ai traité en cherchant f₄, mais il faut trouver le alpha pour que cela marche ; le cas négatif est similaire avec une petite différence dans le calcul de f₃.

C'est peut-être (?) plus simple en choisissant f₁(x) = 1 (ou plutôt 60 ).