Sous variété

[invite5c6c2cbf]

Bonjour,

J'aurais voulu savoir s'il existe des propriétés ou autres caractérisations qui permettent de montrer qu'un ensemble n'est pas une sous variété.

merci
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[indian58]

Généralement, on utilise des propriétés de non connexité ou des trucs de ce genre. Par exemple, pour montrer que le cône n'est pas une sous-variété, tu montres que s'il l'était il serait de dimension 2. Or le plan privé de l'origine est connexe tandis que le cône privé de l'origine ne l'est pas. Donc le cône n'est pas une sous-variété.

[invite5c6c2cbf]

Salut,

Justement le probleme est que nous n'avons pas (encore?) evoque en cours la connexite! C'est la raison pour laquelle je voulais savoir s'il y avait d'autres moyens pour montrer qu'un ensemble n'est pas une sous variété.
Sufit-il de montrer que cet ensemble n'est pas un ouvert de R^n pour montrer qu'il n'est pas une sous variété de R^n?

merci de vos réponses

[edpiste]

Salut,
Sufit-il de montrer que cet ensemble n'est pas un ouvert de R^n pour montrer qu'il n'est pas une sous variété de R^n?

non, la sphere S^{n-1} est une sous-variété de R^n mais ce n'est pas un ouvert...
Il n'y a pas de méthode générale pour répondre à ta question. Le mieux reste encore de prendre la liste des propriétés que tu connais sur les sous-variétés en d'en invalider au moins une. Par exemple, savoir que la dimension de l'espace tangent à une sous-variété est constante permet de conclure que toute courbe en forme de huit ne peut être une sous-variété de R^2.

[A voir en vidéo sur Futura]

[indian58]

Par exemple, savoir que la dimension de l'espace tangent à une sous-variété est constante permet de conclure que toute courbe en forme de huit ne peut être une sous-variété de R^2.

C'est argument marche si la sous-variété est connexe.

[edpiste]

Non, par définition, une variété est de dimension fixée.

[indian58]

Non, par définition, une variété est de dimension fixée.

Non. La dimension est indépendante si la sous-variété est connexe. Considère une sous-variété de R³, réunion disjointe d'une sphère et d'une droite. Quelle est sa dimension selon toi?

[edpiste]

Ton exemple n'est pas une variété. Voire http://fr.wikipedia.org/wiki/Vari%C3...C3%A9rentielle

[indian58]

Le topic ne concerne pas les variétés différentielles mais les sous-variétés.

[edpiste]

Il y a visiblement un problème de vocabulaire.
Une sous-variété (de l'espace Euclidien) est une variété différentielle.
Cf par exemple http://fr.wikipedia.org/wiki/Vari%C3...C3%A9rentielle

Ou alors donne-moi une définition alternative et la référence stp.

[invite986312212]

il y a aussi des variétés topologiques, algébriques, analytiques, selon les propriétés des applications changement de carte.

[edpiste]

On joue avec les mots là. Il reste qu'une sous-variété de R^N, dans son acceptation habituelle, est, a minima, une variété topologique. A ce titre, elle a une dimension fixée.

[invite986312212]

oui, on joue un peu avec les mots; sur la page wiki, il est dit que selon la définition la plus courante, la dimension est unique, mais qu'il existe des définitions alternatives à dimension variable:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Vari%C3...A9_topologique

[edpiste]

Je ne connaissais pas les variétés "pures". Merci pour la précision.
Cependant je ne vois pas trop l'intérêt de la généralisation, puisqu'on peut travailler sur chaque composante connexe, non ?

[invitefcab992d]

Salut !
y a qelq'un qui peut m'aider a montrer que A={(x,|x| ),x∈R} est une sous varié
té

[Seirios]

Bonsoir,

Es-tu sûr que ce soit une sous-variété ? Le point (0,0) risque de poser problème.