F(AUB) = F(A) union F(B)

[invite56460777]

On a une application f qui va de M dans N
A et B sont deux sous-ensembles de M.

Je pense que l'égalité est vérifiée si f est bijective. Peut-on la montrer également si f est une application quelquonque? Ou n'a t-on une inclusion que dans un sens?

[invite1c6e02b6]

pour une application quelconque, ça marche bien :
( je prend le symbole £ pour "appartient )

si x£f(AuB), alors il existe t£AuB tq f(t)=x
mais alors t£A ou t£B, cad f(t)£f(A) ou f(t)£f(B)....finir..

si x£f(A)uf(B) alors x£f(A) ou x£f(B)
mais alors il existe a£A tq f(a)=x ou il existe b£B tq x=f(b)...finir..

par contre, si tu essayes de comparer f(AnB) et f(A)nf(B), tu ne trouveras qu'une inclusion...

[invite56460777]

Si ca marche avec l'union, ca devrait aussi marcher pour l'intersection qui est incluse dans l'union?

[invite1c6e02b6]

et pourtant, non, ça ne marche pas :
pour x£f(A)nf(B), x£f(A) et x£f(B)
donc x possede un antecedenta dans A et x possede un antecedent b dans B, mais il peut ne pas avoir d'antecedent dans AnB...

ex : A={a}, B={b} et f(a)=f(b)=c ( avec a et b distincts )

alors f(A)={c}, f(B)={c} et f(A)nf(B)={c}
mais AnB=ens vide et f(AnB)=ens vide...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1c6e02b6]

le voilà le contre-exemple :

ex : A={a}, B={b} et f(a)=f(b)=c ( avec a et b distincts )

alors f(A)={c}, f(B)={c} et f(A)nf(B)={c}
mais AnB=ens vide et f(AnB)=ens vide...

[invite56460777]

A moins que... il faut que je vérifie une chose

[invite56460777]

Oui tu as raison pour l'union...

[invite56460777]

euh pour l'intersection, il n'y a qu'une inclusion

[invite980a875f]

Pour l'intersection, l'inclusion se fait dans les deux sens si l'application est bijective je pense, non?

[invite56460777]

oui,c'est ca, mais pas quand l'application est banale

[invite58f1e2bf]

Pour l'égalité avec l'intersection, cela marche aussi lorsque F est seulement injective.

[invite1c6e02b6]

Pour l'intersection, l'inclusion se fait dans les deux sens si l'application est bijective je pense, non?

et si...même quand l'application est quelconque, ça marche pour l'intersection....

pour la premiere inclusion, idem union.

pour x£f(A)nf(B), x£f(A) et x£f(B)
donc x passed un antecedent a dans A (1) ou x possede un antecedent b dans B (2)
mais que ce soit (1) ou (2), de toute façon x possede un antecedent dans AuB car a£AuB et b£AuB
(et c'est là que ça coïnce pour l'intersection car on peut avoir ni a ni b dans AnB... )

[invite56460777]

Il suffit de trouver un contre-exemple